Задание 4
Точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в отношении 3 : 5, считая от точки \(A\). Точка \(M\) является серединой отрезка \(BC\). Какова вероятность того, что выбрав точку \(N\), принадлежащую отрезку \(AB\), она будет принадлежать отрезку \(AM\)?
Решение:
Для решения этой задачи будем использовать понятие геометрической вероятности, которая определяется как отношение длины "благоприятного" отрезка к длине всего отрезка.
1. Представим отрезок \(AB\) и его деление:
Пусть длина отрезка \(AB\) равна \(L\). Точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в отношении 3 : 5, считая от точки \(A\). Это означает, что \(AC : CB = 3 : 5\).
Мы можем представить длину отрезка \(AB\) как сумму частей: \(3k + 5k = 8k\). Тогда \(AC = 3k\) и \(CB = 5k\).
Если мы примем \(L = 8\) условных единиц, то \(AC = 3\) единицы и \(CB = 5\) единиц.
2. Найдем положение точки \(M\):
Точка \(M\) является серединой отрезка \(BC\).
Длина отрезка \(BC = 5k\).
Значит, \(BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{5k}{2} = 2.5k\).
3. Определим длину отрезка \(AM\):
Отрезок \(AM\) состоит из отрезков \(AC\) и \(CM\).
\[AM = AC + CM\] \[AM = 3k + 2.5k\] \[AM = 5.5k\]4. Найдем вероятность:
Мы выбираем случайную точку \(N\) на отрезке \(AB\). Вероятность того, что эта точка будет принадлежать отрезку \(AM\), равна отношению длины отрезка \(AM\) к длине отрезка \(AB\).
\[P = \frac{\text{Длина отрезка } AM}{\text{Длина отрезка } AB}\] \[P = \frac{5.5k}{8k}\]Сократим \(k\):
\[P = \frac{5.5}{8}\]Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим числитель и знаменатель на 2:
\[P = \frac{5.5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{11}{16}\]5. Представим ответ в десятичном виде (если требуется):
\[\frac{11}{16} = 0.6875\]
Ответ:
Вероятность того, что выбранная точка \(N\) будет принадлежать отрезку \(AM\), составляет \(\frac{11}{16}\) или 0.6875.