Задача 7. На координатной прямой отмечены числа \(x\) и \(y\).
Какое из приведённых ниже утверждений для этих чисел является верным?
1) \(y - x < 0\)
2) \(xy < 0\)
3) \(x - y < 0\)
4) \((x - y) \cdot y > 0\)
Решение:
Сначала посмотрим на координатную прямую и определим знаки чисел \(x\) и \(y\), а также их взаимное расположение относительно нуля.
На координатной прямой видно, что:
- Число \(0\) находится слева от \(x\). Это означает, что \(x\) - положительное число. То есть, \(x > 0\).
- Число \(x\) находится слева от \(y\). Это означает, что \(y\) - положительное число. То есть, \(y > 0\).
- Также из расположения видно, что \(x < y\).
Теперь проверим каждое из утверждений:
1) \(y - x < 0\)
Мы знаем, что \(x < y\). Если мы вычтем \(x\) из обеих частей неравенства, получим:
\(x - x < y - x\)
\(0 < y - x\)
Это означает, что \(y - x\) является положительным числом. Утверждение \(y - x < 0\) неверно.
2) \(xy < 0\)
Мы определили, что \(x > 0\) (положительное число) и \(y > 0\) (положительное число).
Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом.
То есть, \(xy > 0\).
Утверждение \(xy < 0\) неверно.
3) \(x - y < 0\)
Мы знаем, что \(x < y\). Если мы вычтем \(y\) из обеих частей неравенства, получим:
\(x - y < y - y\)
\(x - y < 0\)
Это означает, что \(x - y\) является отрицательным числом. Утверждение \(x - y < 0\) верно.
4) \((x - y) \cdot y > 0\)
Из пункта 3 мы знаем, что \(x - y < 0\) (это отрицательное число).
Мы также знаем, что \(y > 0\) (это положительное число).
Произведение отрицательного числа на положительное число всегда является отрицательным числом.
То есть, \((x - y) \cdot y < 0\).
Утверждение \((x - y) \cdot y > 0\) неверно.
Вывод:
Единственное верное утверждение - это 3).
Ответ: 3