Задача 14
Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 960?
Решение:
При каждом делении количество инфузорий удваивается. Если деление происходит 6 раз, то количество инфузорий увеличится в \(2^6\) раз.
Мы знаем, что после 6 делений их стало 960. Пусть \(N_0\) - первоначальное количество инфузорий.
Тогда:
\[N_0 \cdot 2^6 = 960\]Вычислим \(2^6\):
\[2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64\]Теперь подставим это значение в уравнение:
\[N_0 \cdot 64 = 960\]Чтобы найти \(N_0\), разделим 960 на 64:
\[N_0 = \frac{960}{64}\]Выполним деление:
\[960 \div 64 = 15\]Значит, первоначально было 15 инфузорий.
Ответ: 15
Задача 15
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=5\), \(BC=9\), \(AC=8\). Найдите \(\cos \angle BAC\).
Решение:
Для нахождения косинуса угла в треугольнике воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\]В нашем случае, для угла \(\angle BAC\) (обозначим его как \(A\)), стороны будут следующие:
- Сторона, лежащая напротив угла \(A\), это \(BC\), то есть \(a = BC = 9\).
- Прилежащие стороны к углу \(A\) это \(AB\) и \(AC\), то есть \(c = AB = 5\) и \(b = AC = 8\).
Подставим значения в формулу:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\] \[9^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos \angle BAC\]Вычислим квадраты:
\[81 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos \angle BAC\] \[81 = 89 - 80 \cdot \cos \angle BAC\]Перенесем 89 в левую часть уравнения:
\[81 - 89 = -80 \cdot \cos \angle BAC\] \[-8 = -80 \cdot \cos \angle BAC\]Разделим обе части на -80, чтобы найти \(\cos \angle BAC\):
\[\cos \angle BAC = \frac{-8}{-80}\] \[\cos \angle BAC = \frac{8}{80}\] \[\cos \angle BAC = \frac{1}{10}\] \[\cos \angle BAC = 0.1\]Ответ: 0.1
Задача 16
Через точку \(A\), лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке \(K\). Другая прямая пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\), причём \(AB=3\), \(BC=9\). Найдите \(AK\).
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей. Теорема гласит, что если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на её внешнюю часть.
В нашем случае:
- \(AK\) - это касательная.
- Прямая, проходящая через \(A\), \(B\) и \(C\), является секущей.
- Внешняя часть секущей - это отрезок \(AB\).
- Длина всей секущей - это отрезок \(AC\).
Сначала найдем длину всей секущей \(AC\). Она состоит из отрезков \(AB\) и \(BC\):
\[AC = AB + BC\]Подставим данные значения:
\[AC = 3 + 9\] \[AC = 12\]Теперь применим теорему о касательной и секущей:
\[AK^2 = AB \cdot AC\]Подставим известные значения:
\[AK^2 = 3 \cdot 12\] \[AK^2 = 36\]Чтобы найти \(AK\), извлечем квадратный корень из 36:
\[AK = \sqrt{36}\] \[AK = 6\]Ответ: 6
Задача 17
Диагонали \(AC\) и \(BD\) трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) пересекаются в точке \(O\). \(BC=6\), \(AD=10\), \(AC=12\). Найдите \(CO\).
Решение:
В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\) подобны. Это следует из того, что \(BC \parallel AD\), поэтому:
- \(\angle CBO = \angle ADO\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\)).
- \(\angle BCO = \angle DAO\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AC\)).
- \(\angle BOC = \angle DOA\) (как вертикальные углы).
Из подобия треугольников \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\) следует, что отношения соответствующих сторон равны:
\[\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD}\]Нам известны длины оснований \(BC=6\) и \(AD=10\), а также длина диагонали \(AC=12\). Нам нужно найти \(CO\).
Используем отношение:
\[\frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD}\]Подставим известные значения:
\[\frac{CO}{AO} = \frac{6}{10}\] \[\frac{CO}{AO} = \frac{3}{5}\]Мы знаем, что \(AC = AO + CO\). Пусть \(CO = x\). Тогда \(AO = AC - CO = 12 - x\).
Подставим эти выражения в отношение:
\[\frac{x}{12 - x} = \frac{3}{5}\]Теперь решим это уравнение для \(x\). Перемножим крест-накрест:
\[5x = 3(12 - x)\] \[5x = 36 - 3x\]Перенесем \(3x\) в левую часть:
\[5x + 3x = 36\] \[8x = 36\]Разделим на 8:
\[x = \frac{36}{8}\] \[x = \frac{9}{2}\] \[x = 4.5\]Таким образом, \(CO = 4.5\).
Ответ: 4.5
Задача 18
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1 \times 1\) изображён ромб. Найдите длину его меньшей диагонали.
Решение:
Посмотрим на изображение ромба на клетчатой бумаге. Диагонали ромба проходят через его центр и перпендикулярны друг другу.
Давайте определим длины диагоналей, посчитав клетки:
- Первая диагональ (горизонтальная): Отсчитаем клетки по горизонтали от одной вершины до противоположной. Она занимает 6 клеток. Значит, длина одной диагонали \(d_1 = 6\).
- Вторая диагональ (вертикальная): Отсчитаем клетки по вертикали от одной вершины до противоположной. Она занимает 4 клетки. Значит, длина другой диагонали \(d_2 = 4\).
Сравнивая длины диагоналей, видим, что \(4 < 6\).
Меньшая диагональ имеет длину 4.
Ответ: 4
Задача 19
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) Диагональ трапеции всегда делит её на два равных треугольника.
2) Сумма углов любого равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
3) Две окружности всегда пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Решение:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) Диагональ трапеции всегда делит её на два равных треугольника.
Это утверждение неверно. Диагональ трапеции делит её на два треугольника, но эти треугольники, как правило, не равны. Они имеют общую сторону (диагональ), но их другие стороны и углы обычно отличаются. Например, в трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), диагональ \(AC\) делит её на \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\). Эти треугольники имеют разные площади и формы, если трапеция не является параллелограммом (что не всегда так).
2) Сумма углов любого равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
Это утверждение истинно. Сумма углов любого треугольника (в евклидовой геометрии) всегда равна 180 градусам, независимо от того, является ли он равнобедренным, равносторонним или разносторонним. Равнобедренный треугольник - это частный случай треугольника, поэтому для него это правило также действует.
3) Две окружности всегда пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
Это утверждение неверно. Условие, что радиус одной окружности больше радиуса другой, недостаточно для их пересечения. Например, можно нарисовать две концентрические окружности (с общим центром), где одна имеет больший радиус, но они не пересекаются. Или две окружности могут быть расположены далеко друг от друга, так что даже если одна больше другой, они не пересекаются.
Таким образом, единственное истинное утверждение - это утверждение под номером 2.
Ответ: 2