Задача 4. В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке O. Площадь треугольника AOD = 32 см2, а площадь треугольника BOC = 8 см2. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.
Дано:
- Трапеция ABCD
- AD и BC — основания
- Диагонали AC и BD пересекаются в точке O
- Площадь треугольника AOD (SAOD) = 32 см2
- Площадь треугольника BOC (SBOC) = 8 см2
- Большее основание AD = 10 см
Найти: Меньшее основание BC.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники AOD и BOC.
2. Так как AD и BC являются основаниями трапеции, то AD || BC. Из этого следует, что:
- Угол DAO = углу BCO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).
- Угол ADO = углу CBO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD).
- Угол AOD = углу BOC (как вертикальные углы).
3. Таким образом, треугольники AOD и BOC подобны по трем углам (или по двум углам).
4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон. В нашем случае, \(k = \frac{AD}{BC}\) или \(k = \frac{BC}{AD}\).
Мы знаем, что \(\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2\).
5. Подставим известные значения площадей:
\[\frac{32}{8} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2\] \[4 = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2\]6. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\[\sqrt{4} = \sqrt{\left(\frac{AD}{BC}\right)^2}\] \[2 = \frac{AD}{BC}\]7. Теперь мы знаем отношение сторон. Нам дано, что большее основание AD = 10 см. Подставим это значение:
\[2 = \frac{10}{BC}\]8. Чтобы найти BC, выразим его из уравнения:
\[BC = \frac{10}{2}\] \[BC = 5 \text{ см}\]Ответ: Меньшее основание трапеции равно 5 см.