Задание 5
Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом выбирают два числа \(A\) и \(B\). Каковы вероятности того, что:
Для решения этой задачи мы будем использовать геометрическую вероятность. Поскольку числа \(A\) и \(B\) выбираются из отрезка \([0; 1]\), мы можем представить все возможные исходы как точки \((A, B)\) в единичном квадрате на координатной плоскости с вершинами \((0,0)\), \((1,0)\), \((1,1)\), \((0,1)\). Площадь этого квадрата равна \(1 \cdot 1 = 1\).
Вероятность каждого события будет равна отношению площади области, соответствующей этому событию, к площади всего квадрата (которая равна 1).
1. Событие: \(A \ge 2B\)
Нам нужно найти площадь области, где \(A \ge 2B\) внутри квадрата \([0,1] \times [0,1]\).
Рассмотрим прямую \(A = 2B\). Или, что то же самое, \(B = \frac{1}{2}A\).
Эта прямая проходит через точки:
- Если \(A=0\), то \(B=0\). Точка \((0,0)\).
- Если \(A=1\), то \(B=\frac{1}{2}\). Точка \((1, \frac{1}{2})\).
Область \(A \ge 2B\) находится под прямой \(B = \frac{1}{2}A\) (или справа от прямой \(A = 2B\)).
Эта область представляет собой треугольник с вершинами \((0,0)\), \((1,0)\) и \((1, \frac{1}{2})\).
Основание этого треугольника равно \(1\) (от \(A=0\) до \(A=1\) по оси \(A\)).
Высота этого треугольника равна \(\frac{1}{2}\) (максимальное значение \(B\) при \(A=1\)).
Площадь треугольника вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).
Площадь области \(A \ge 2B\) равна \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Вероятность события \(A \ge 2B\) равна \(\frac{S_1}{1} = \frac{1}{4}\).
В десятичном виде это \(0,25\).
2. Событие: \(A + B \le \frac{1}{3}\)
Нам нужно найти площадь области, где \(A + B \le \frac{1}{3}\) внутри квадрата \([0,1] \times [0,1]\).
Рассмотрим прямую \(A + B = \frac{1}{3}\). Или, что то же самое, \(B = \frac{1}{3} - A\).
Эта прямая пересекает оси координат в точках:
- Если \(A=0\), то \(B=\frac{1}{3}\). Точка \((0, \frac{1}{3})\).
- Если \(B=0\), то \(A=\frac{1}{3}\). Точка \(( \frac{1}{3}, 0)\).
Область \(A + B \le \frac{1}{3}\) находится под этой прямой и представляет собой треугольник с вершинами \((0,0)\), \((\frac{1}{3}, 0)\) и \((0, \frac{1}{3})\).
Основание этого треугольника равно \(\frac{1}{3}\).
Высота этого треугольника равна \(\frac{1}{3}\).
Площадь области \(A + B \le \frac{1}{3}\) равна \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{18}\).
Вероятность события \(A + B \le \frac{1}{3}\) равна \(\frac{S_2}{1} = \frac{1}{18}\).
3. Событие: \(A^2 + B^2 < 1\)
Нам нужно найти площадь области, где \(A^2 + B^2 < 1\) внутри квадрата \([0,1] \times [0,1]\).
Уравнение \(A^2 + B^2 = 1\) описывает окружность с центром в начале координат \((0,0)\) и радиусом \(R=1\).
Область \(A^2 + B^2 < 1\) - это внутренность круга радиуса 1 с центром в \((0,0)\).
В пределах единичного квадрата \([0,1] \times [0,1]\) эта область представляет собой четверть круга.
Площадь полного круга радиуса \(R\) равна \(\pi R^2\).
Площадь четверти круга радиуса \(1\) равна \(S_3 = \frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}\).
Вероятность события \(A^2 + B^2 < 1\) равна \(\frac{S_3}{1} = \frac{\pi}{4}\).
Сопоставление ответов:
- \(A \ge 2B\) соответствует вероятности \(\frac{1}{4}\) или \(0,25\).
- \(A + B \le \frac{1}{3}\) соответствует вероятности \(\frac{1}{18}\).
- \(A^2 + B^2 < 1\) соответствует вероятности \(\frac{\pi}{4}\).
Окончательные ответы для сопоставления:
1. \(A \ge 2B\) -> \(0,25\)
2. \(A + B \le \frac{1}{3}\) -> \(\frac{1}{18}\)
3. \(A^2 + B^2 < 1\) -> \(\frac{\pi}{4}\)