Решение задачи 6: отрезок [2; 5] и вероятность

Вот решение задачи с подробным объяснением, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь.

Задание 6

Из отрезка \([2; 5]\) случайным образом выбирается отрезок \([a; b]\) длины \(1\). Сопоставьте условие задачи с его ответом.

Сначала разберемся с условием. Мы выбираем отрезок \([a; b]\) длины \(1\) из отрезка \([2; 5]\). Это означает, что \(b - a = 1\). Также, поскольку отрезок \([a; b]\) находится внутри \([2; 5]\), то \(a \ge 2\) и \(b \le 5\).

Из \(b - a = 1\) следует, что \(b = a + 1\).

Подставим это в условия:

• \(a \ge 2\)
• \(a + 1 \le 5 \Rightarrow a \le 4\)

Таким образом, число \(a\) может принимать значения из отрезка \([2; 4]\). Длина этого отрезка составляет \(4 - 2 = 2\). Это и есть общая длина всех возможных исходов.

1. Найдите вероятность события, что середина отрезка \([a; b]\) заключена между числами \(2,5\) и \(4,5\).

Середина отрезка \([a; b]\) обозначается как \(M = \frac{a+b}{2}\).

Мы знаем, что \(b = a+1\). Подставим это в формулу для середины:

\(M = \frac{a + (a+1)}{2} = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2}\).

Теперь нам нужно, чтобы середина \(M\) была заключена между \(2,5\) и \(4,5\):

\(2,5 < M < 4,5\)

\(2,5 < a + \frac{1}{2} < 4,5\)

Вычтем \(\frac{1}{2}\) (или \(0,5\)) из всех частей неравенства:

\(2,5 - 0,5 < a < 4,5 - 0,5\)

\(2 < a < 4\)

Итак, благоприятные исходы для \(a\) находятся в интервале \((2; 4)\). Длина этого интервала составляет \(4 - 2 = 2\).

Однако, мы должны учесть, что \(a\) выбирается из отрезка \([2; 4]\). В данном случае, интервал \((2; 4)\) совпадает с интервалом \([2; 4]\) по длине, так как граничные точки не влияют на длину интервала для непрерывных распределений.

Длина благоприятного интервала для \(a\) равна \(4 - 2 = 2\).

Общая длина всех возможных значений \(a\) равна \(4 - 2 = 2\).

Вероятность события равна отношению длины благоприятного интервала к длине всего возможного интервала:

\(P_1 = \frac{\text{длина благоприятного интервала}}{\text{длина всего интервала}} = \frac{2}{2} = 1\).

2. Найдите вероятность события, что \(a < 3\).

Нам нужно найти вероятность того, что \(a < 3\).

Мы знаем, что \(a\) выбирается из отрезка \([2; 4]\).

Благоприятные исходы для \(a\) находятся в интервале \([2; 3)\).

Длина этого интервала составляет \(3 - 2 = 1\).

Общая длина всех возможных значений \(a\) равна \(4 - 2 = 2\).

Вероятность события равна отношению длины благоприятного интервала к длине всего возможного интервала:

\(P_2 = \frac{\text{длина благоприятного интервала}}{\text{длина всего интервала}} = \frac{1}{2} = 0,5\).

Сопоставление ответов:

• Вероятность события, что середина отрезка \([a; b]\) заключена между числами \(2,5\) и \(4,5\) -> \(1\).
• Вероятность события, что \(a < 3\) -> \(0,5\).