Задание 7
На отрезке \([0; 1]\) случайным образом выбирают точку \(X\). Сопоставьте условие задачи с его ответом.
Поскольку точка \(X\) выбирается случайным образом из отрезка \([0; 1]\), мы используем геометрическую вероятность. Общая длина всех возможных исходов равна длине отрезка \([0; 1]\), то есть \(1 - 0 = 1\).
Вероятность каждого события будет равна длине интервала, соответствующего этому событию, деленной на общую длину (которая равна 1).
1. Найдите вероятность того, что \(X^2 \le 0,16\).
Нам нужно решить неравенство \(X^2 \le 0,16\).
Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:
\(\sqrt{X^2} \le \sqrt{0,16}\)
\(|X| \le 0,4\)
Это означает, что \(-0,4 \le X \le 0,4\).
Однако, точка \(X\) выбирается из отрезка \([0; 1]\). Поэтому мы должны найти пересечение интервала \([-0,4; 0,4]\) с отрезком \([0; 1]\).
Пересечение этих интервалов: \([0; 0,4]\).
Длина благоприятного интервала равна \(0,4 - 0 = 0,4\).
Вероятность события \(X^2 \le 0,16\) равна \(\frac{0,4}{1} = 0,4\).
2. Найдите вероятность того, что \(X^3 \ge 0,064\).
Нам нужно решить неравенство \(X^3 \ge 0,064\).
Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства:
\(\sqrt[3]{X^3} \ge \sqrt[3]{0,064}\)
\(X \ge 0,4\)
Точка \(X\) выбирается из отрезка \([0; 1]\). Поэтому мы должны найти пересечение интервала \([0,4; +\infty)\) с отрезком \([0; 1]\).
Пересечение этих интервалов: \([0,4; 1]\).
Длина благоприятного интервала равна \(1 - 0,4 = 0,6\).
Вероятность события \(X^3 \ge 0,064\) равна \(\frac{0,6}{1} = 0,6\).
3. Найдите вероятность того, что \(6X^2 - 5X + 1 < 0\).
Нам нужно решить квадратное неравенство \(6X^2 - 5X + 1 < 0\).
Сначала найдем корни квадратного уравнения \(6X^2 - 5X + 1 = 0\).
Используем формулу для корней квадратного уравнения \(X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\(X = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6}\)
\(X = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12}\)
\(X = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{12}\)
\(X = \frac{5 \pm 1}{12}\)
Два корня:
\(X_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)
\(X_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
Поскольку коэффициент при \(X^2\) (то есть \(6\)) положительный, парабола \(y = 6X^2 - 5X + 1\) направлена ветвями вверх. Неравенство \(6X^2 - 5X + 1 < 0\) выполняется между корнями.
Таким образом, благоприятный интервал для \(X\) равен \((\frac{1}{3}; \frac{1}{2})\).
Точка \(X\) выбирается из отрезка \([0; 1]\). Интервал \((\frac{1}{3}; \frac{1}{2})\) полностью содержится в \([0; 1]\).
Длина благоприятного интервала равна \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\).
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\).
Вероятность события \(6X^2 - 5X + 1 < 0\) равна \(\frac{\frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{6}\).
Сопоставление ответов:
- \(X^2 \le 0,16\) соответствует вероятности \(0,4\).
- \(X^3 \ge 0,064\) соответствует вероятности \(0,6\).
- \(6X^2 - 5X + 1 < 0\) соответствует вероятности \(\frac{1}{6}\).