Задача 10. Сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через центр описанной около него окружности. Найдите \(\angle C\), если \(\angle A = 75^\circ\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
Если сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через центр описанной около него окружности, это означает, что \(AC\) является диаметром этой окружности.
По свойству вписанного угла, если вписанный угол опирается на диаметр, то он равен \(90^\circ\).
В нашем случае, угол \(\angle B\) опирается на диаметр \(AC\).
Значит, \(\angle B = 90^\circ\).
Сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\).
Для треугольника \(ABC\) имеем: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).
Нам дано, что \(\angle A = 75^\circ\) и мы нашли \(\angle B = 90^\circ\).
Подставим эти значения в формулу:
\(75^\circ + 90^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(165^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 165^\circ\)
\(\angle C = 15^\circ\)
Ответ: \(15\)
Задача 18. На прямой \(AB\) взята точка \(M\). Луч \(MD\) — биссектриса угла \(CMB\). Известно, что \(\angle DMC = 72^\circ\). Найдите угол \(CMA\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
По условию, луч \(MD\) — биссектриса угла \(CMB\).
Это означает, что \(MD\) делит угол \(CMB\) на два равных угла: \(\angle CMD\) и \(\angle DMB\).
Нам дано, что \(\angle DMC = 72^\circ\).
Следовательно, \(\angle DMB = \angle DMC = 72^\circ\).
Угол \(CMB\) состоит из двух углов: \(\angle CMD\) и \(\angle DMB\).
Значит, \(\angle CMB = \angle CMD + \angle DMB = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ\).
Точки \(A\), \(M\), \(B\) лежат на одной прямой, поэтому угол \(AMB\) является развернутым углом и равен \(180^\circ\).
Углы \(CMA\) и \(CMB\) являются смежными углами, так как они образуют развернутый угол \(AMB\).
Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).
Значит, \(\angle CMA + \angle CMB = 180^\circ\).
Мы нашли, что \(\angle CMB = 144^\circ\).
Подставим это значение:
\(\angle CMA + 144^\circ = 180^\circ\)
\(\angle CMA = 180^\circ - 144^\circ\)
\(\angle CMA = 36^\circ\)
Ответ: \(36\)
Задача 19. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = 38\), \(BC = 9\sqrt{5}\), угол \(C\) равен \(90^\circ\). Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение:
По условию, угол \(C\) в треугольнике \(ABC\) равен \(90^\circ\). Это означает, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным.
Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.
Гипотенузой в данном треугольнике является сторона \(AB\), так как она лежит напротив прямого угла \(C\).
Для того чтобы найти длину гипотенузы \(AB\), воспользуемся теоремой Пифагора:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Нам даны длины катетов: \(AC = 38\) и \(BC = 9\sqrt{5}\).
Подставим эти значения в формулу:
\(AB^2 = (38)^2 + (9\sqrt{5})^2\)
Вычислим квадраты:
\(38^2 = 1444\)
\((9\sqrt{5})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 81 \cdot 5 = 405\)
Теперь сложим эти значения:
\(AB^2 = 1444 + 405\)
\(AB^2 = 1849\)
Чтобы найти \(AB\), извлечем квадратный корень из \(1849\):
\(AB = \sqrt{1849}\)
\(AB = 43\)
Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы \(AB\), можем найти радиус описанной окружности \(R\):
\(R = \frac{AB}{2}\)
\(R = \frac{43}{2}\)
\(R = 21.5\)
Ответ: \(21.5\)