Задание 3
Камень падает из состояния покоя, оторвавшись от скалы. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Во сколько раз увеличится скорость камня в момент приземления, если высота, с которой падает этот камень, увеличится в \(4\) раза? Ответ округлите до целого числа.
Решение:
Эта задача решается с использованием закона сохранения механической энергии, так как сопротивление воздуха пренебрежимо мало (то есть нет потерь энергии на трение).
Начальное состояние (камень на высоте \(h\)):
- Камень падает из состояния покоя, значит, его начальная скорость \(v_0 = 0\).
- Начальная кинетическая энергия \(E_{к0} = \frac{mv_0^2}{2} = 0\).
- Начальная потенциальная энергия \(E_{п0} = mgh\), где \(m\) - масса камня, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - начальная высота.
- Полная начальная механическая энергия \(E_0 = E_{к0} + E_{п0} = 0 + mgh = mgh\).
Конечное состояние (камень в момент приземления):
- В момент приземления высота камня \(h_{конечная} = 0\).
- Конечная потенциальная энергия \(E_{пк} = mgh_{конечная} = mg \cdot 0 = 0\).
- Конечная скорость камня \(v\).
- Конечная кинетическая энергия \(E_{кк} = \frac{mv^2}{2}\).
- Полная конечная механическая энергия \(E_к = E_{кк} + E_{пк} = \frac{mv^2}{2} + 0 = \frac{mv^2}{2}\).
Закон сохранения энергии:
Поскольку потерями энергии можно пренебречь, полная механическая энергия сохраняется:
\[E_0 = E_к\]
\[mgh = \frac{mv^2}{2}\]
Мы можем сократить массу \(m\) с обеих сторон уравнения:
\[gh = \frac{v^2}{2}\]
Выразим скорость \(v\):
\[v^2 = 2gh\]
\[v = \sqrt{2gh}\]
Анализ изменения скорости при увеличении высоты:
Пусть начальная высота будет \(h_1\), и соответствующая скорость при приземлении будет \(v_1\):
\[v_1 = \sqrt{2gh_1}\]
Высота увеличивается в \(4\) раза, то есть новая высота \(h_2 = 4h_1\).
Найдем новую скорость при приземлении \(v_2\):
\[v_2 = \sqrt{2gh_2}\]
Подставим \(h_2 = 4h_1\):
\[v_2 = \sqrt{2g(4h_1)}\]
\[v_2 = \sqrt{4 \cdot (2gh_1)}\]
\[v_2 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2gh_1}\]
\[v_2 = 2 \cdot \sqrt{2gh_1}\]
Мы видим, что \(\sqrt{2gh_1}\) это \(v_1\). Значит:
\[v_2 = 2v_1\]
Это означает, что скорость камня в момент приземления увеличится в \(2\) раза.
Ответ: 2