Решение задачи: Нахождение величины по известной доле и проценту

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. 155. Найдите значение величины, если: а) 0,56 её равны 210 дм\(^2\); б) 27% её равны 32,4 см; в) 3,6% её равны 1,08 р. Решение: а) Пусть искомая величина равна \(x\). Тогда 0,56 от \(x\) равно 210 дм\(^2\). Запишем это как уравнение: \(0,56 \cdot x = 210\) Чтобы найти \(x\), разделим 210 на 0,56: \(x = \frac{210}{0,56}\) \(x = \frac{21000}{56}\) Выполним деление: \(21000 \div 56 = 375\) Итак, \(x = 375\) дм\(^2\). Ответ: 375 дм\(^2\). б) Пусть искомая величина равна \(y\). Тогда 27% от \(y\) равно 32,4 см. Чтобы найти 27% от числа, нужно умножить число на 0,27 (так как 27% = 27/100 = 0,27). Запишем это как уравнение: \(0,27 \cdot y = 32,4\) Чтобы найти \(y\), разделим 32,4 на 0,27: \(y = \frac{32,4}{0,27}\) \(y = \frac{3240}{27}\) Выполним деление: \(3240 \div 27 = 120\) Итак, \(y = 120\) см. Ответ: 120 см. в) Пусть искомая величина равна \(z\). Тогда 3,6% от \(z\) равно 1,08 р. Чтобы найти 3,6% от числа, нужно умножить число на 0,036 (так как 3,6% = 3,6/100 = 0,036). Запишем это как уравнение: \(0,036 \cdot z = 1,08\) Чтобы найти \(z\), разделим 1,08 на 0,036: \(z = \frac{1,08}{0,036}\) \(z = \frac{1080}{36}\) Выполним деление: \(1080 \div 36 = 30\) Итак, \(z = 30\) р. Ответ: 30 р. 156. Туристы шли три дня. В первый день они прошли 40% всего пути, во второй день — \(\frac{1}{3}\) всего пути, а в третий — оставшиеся 8 км. Найдите длину всего пути. Решение: Пусть длина всего пути равна \(S\) км. В первый день туристы прошли 40% всего пути. 40% = 0,4. Значит, в первый день они прошли \(0,4 \cdot S\) км. Во второй день они прошли \(\frac{1}{3}\) всего пути. Значит, во второй день они прошли \(\frac{1}{3} \cdot S\) км. В третий день они прошли 8 км. Сумма расстояний, пройденных за три дня, равна всему пути \(S\). Составим уравнение: \(0,4 \cdot S + \frac{1}{3} \cdot S + 8 = S\) Переведем 0,4 в обыкновенную дробь: \(0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Уравнение примет вид: \(\frac{2}{5} \cdot S + \frac{1}{3} \cdot S + 8 = S\) Соберем члены с \(S\) в одной части уравнения: \(8 = S - \frac{2}{5} \cdot S - \frac{1}{3} \cdot S\) \(8 = S \cdot (1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{3})\) Найдем общий знаменатель для дробей 1, \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{1}{3}\). Общий знаменатель равен 15. \(1 = \frac{15}{15}\) \(\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}\) \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}\) Подставим эти значения в скобки: \(8 = S \cdot (\frac{15}{15} - \frac{6}{15} - \frac{5}{15})\) \(8 = S \cdot (\frac{15 - 6 - 5}{15})\) \(8 = S \cdot (\frac{9 - 5}{15})\) \(8 = S \cdot \frac{4}{15}\) Чтобы найти \(S\), разделим 8 на \(\frac{4}{15}\): \(S = 8 \div \frac{4}{15}\) \(S = 8 \cdot \frac{15}{4}\) \(S = \frac{8 \cdot 15}{4}\) \(S = 2 \cdot 15\) \(S = 30\) Итак, длина всего пути составляет 30 км. Проверка: 1 день: 40% от 30 км = \(0,4 \cdot 30 = 12\) км. 2 день: \(\frac{1}{3}\) от 30 км = \(10\) км. 3 день: 8 км. Всего: \(12 + 10 + 8 = 30\) км. Верно. Ответ: 30 км. 157. Кладовщик выдал по первому ордеру \(\frac{2}{7}\) всей имевшейся на складе проволоки, а по второму ордеру — \(\frac{3}{14}\) всей проволоки. Сколько килограммов проволоки было на складе, если по первому ордеру было выдано на 25 кг больше, чем по второму? Решение: Пусть на складе было \(P\) кг проволоки. По первому ордеру выдали \(\frac{2}{7}\) всей проволоки. Значит, по первому ордеру выдали \(\frac{2}{7} \cdot P\) кг. По второму ордеру выдали \(\frac{3}{14}\) всей проволоки. Значит, по второму ордеру выдали \(\frac{3}{14} \cdot P\) кг. Известно, что по первому ордеру было выдано на 25 кг больше, чем по второму. Составим уравнение: \(\frac{2}{7} \cdot P - \frac{3}{14} \cdot P = 25\) Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 14 равен 14. \(\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14}\) Подставим в уравнение: \(\frac{4}{14} \cdot P - \frac{3}{14} \cdot P = 25\) \((\frac{4}{14} - \frac{3}{14}) \cdot P = 25\) \(\frac{1}{14} \cdot P = 25\) Чтобы найти \(P\), умножим 25 на 14: \(P = 25 \cdot 14\) \(P = 350\) Итак, на складе было 350 кг проволоки. Проверка: По первому ордеру: \(\frac{2}{7} \cdot 350 = 2 \cdot 50 = 100\) кг. По второму ордеру: \(\frac{3}{14} \cdot 350 = 3 \cdot 25 = 75\) кг. Разница: \(100 - 75 = 25\) кг. Верно. Ответ: 350 кг. 158. 60% от 60% числа \(n\) равны 7,2. Найдите число \(n\). Решение: Сначала найдем 60% от числа \(n\). Это будет \(0,6 \cdot n\). Затем найдем 60% от полученного результата (\(0,6 \cdot n\)). Это будет \(0,6 \cdot (0,6 \cdot n)\). Известно, что это равно 7,2. Составим уравнение: \(0,6 \cdot 0,6 \cdot n = 7,2\) \(0,36 \cdot n = 7,2\) Чтобы найти \(n\), разделим 7,2 на 0,36: \(n = \frac{7,2}{0,36}\) \(n = \frac{720}{36}\) Выполним деление: \(720 \div 36 = 20\) Итак, число \(n = 20\). Проверка: 60% от 20 = \(0,6 \cdot 20 = 12\). 60% от 12 = \(0,6 \cdot 12 = 7,2\). Верно. Ответ: 20. 159. Найдите значение выражения: а) \(5,7 \cdot 22,8\) Решение: Выполним умножение столбиком или в уме: \(5,7 \cdot 22,8 = 129,96\) Ответ: 129,96. б) \(4,6 \cdot 2,1 \cdot 0,5\) Решение: Умножим последовательно: \(4,6 \cdot 2,1 = 9,66\) \(9,66 \cdot 0,5 = 4,83\) Ответ: 4,83. в) \(3,5 \cdot 2,3 \cdot 0,3\) Решение: Умножим последовательно: \(3,5 \cdot 2,3 = 8,05\) \(8,05 \cdot 0,3 = 2,415\) Ответ: 2,415. г) \(\frac{6,8 \cdot 0,04 \cdot 1,65}{3,3 \cdot 5,1 \cdot 0,16}\) Решение: Сначала перемножим числа в числителе: \(6,8 \cdot 0,04 = 0,272\) \(0,272 \cdot 1,65 = 0,4488\) Числитель равен 0,4488. Теперь перемножим числа в знаменателе: \(3,3 \cdot 5,1 = 16,83\) \(16,83 \cdot 0,16 = 2,6928\) Знаменатель равен 2,6928. Теперь разделим числитель на знаменатель: \(\frac{0,4488}{2,6928}\) Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 10000, чтобы избавиться от десятичных дробей: \(\frac{4488}{26928}\) Заметим, что 26928 делится на 4488. \(26928 \div 4488 = 6\) Значит, дробь равна \(\frac{1}{6}\). Ответ: \(\frac{1}{6}\). д) \(0,804 : 1,2 + 0,33\) Решение: Сначала выполним деление: \(0,804 : 1,2 = \frac{0,804}{1,2} = \frac{8,04}{12}\) \(8,04 \div 12 = 0,67\) Теперь выполним сложение: \(0,67 + 0,33 = 1\) Ответ: 1. е) \(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} : \frac{1}{1} + \frac{1}{13} : \frac{1}{9}\) В выражении есть опечатка: \(\frac{1}{1}\) это 1. Скорее всего, имелось в виду \(\frac{1}{4} : \frac{1}{1}\) или \(\frac{1}{4} : 1\). Если это \(\frac{1}{4} : 1\), то это \(\frac{1}{4}\). Перепишем выражение, предполагая, что \(\frac{1}{1}\) это 1: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} : 1 + \frac{1}{13} : \frac{1}{9}\) \(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{13} \cdot 9\) \(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{9}{13}\) Найдем общий знаменатель для \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{4}\). Это 4. \(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\) Теперь сложим \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{9}{13}\). Общий знаменатель для 4 и 13 равен \(4 \cdot 13 = 52\). \(\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 13}{4 \cdot 13} = \frac{13}{52}\) \(\frac{9}{13} = \frac{9 \cdot 4}{13 \cdot 4} = \frac{36}{52}\) \(\frac{13}{52} + \frac{36}{52} = \frac{13 + 36}{52} = \frac{49}{52}\) Ответ: \(\frac{49}{52}\). ж) \((3 \frac{1}{2} + 1 \frac{4}{5}) \cdot 3 - 1,18\) Решение: Сначала выполним сложение в скобках. Переведем смешанные дроби в неправильные: \(3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}\) \(1 \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}\) Сложим дроби: \(\frac{7}{2} + \frac{9}{5}\) Общий знаменатель для 2 и 5 равен 10. \(\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{35}{10}\) \(\frac{9}{5} = \frac{9 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{18}{10}\) \(\frac{35}{10} + \frac{18}{10} = \frac{35 + 18}{10} = \frac{53}{10} = 5,3\) Теперь умножим результат на 3: \(5,3 \cdot 3 = 15,9\) И вычтем 1,18: \(15,9 - 1,18 = 14,72\) Ответ: 14,72. з) \(9,5 : 2,4 - 3 \frac{11}{12}\) Решение: Сначала выполним деление: \(9,5 : 2,4 = \frac{9,5}{2,4} = \frac{95}{24}\) Переведем \(\frac{95}{24}\) в смешанную дробь: \(95 \div 24 = 3\) с остатком \(95 - 3 \cdot 24 = 95 - 72 = 23\). Значит, \(\frac{95}{24} = 3 \frac{23}{24}\). Теперь выполним вычитание: \(3 \frac{23}{24} - 3 \frac{11}{12}\) Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 24 и 12 равен 24. \(\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{22}{24}\) Теперь вычтем: \(3 \frac{23