Решение задачи: Умножение дробей

Вот решение задачи с подробным объяснением, чтобы было удобно переписать в тетрадь: Вычислите: \[ \frac{24}{26} \cdot \frac{169}{121} \cdot \frac{33}{144} \cdot \frac{132}{39} \] Решение: Для того чтобы умножить несколько дробей, нужно перемножить все числители и все знаменатели. Однако, чтобы упростить вычисления, мы можем сначала сократить дроби. Шаг 1: Сократим каждую дробь по отдельности, если это возможно. \[ \frac{24}{26} = \frac{12 \cdot 2}{13 \cdot 2} = \frac{12}{13} \] \[ \frac{169}{121} = \frac{13^2}{11^2} \] (эту дробь пока не сокращаем, но видим, что числитель и знаменатель являются квадратами чисел) \[ \frac{33}{144} = \frac{3 \cdot 11}{12 \cdot 12} = \frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 4 \cdot 12} = \frac{11}{48} \] \[ \frac{132}{39} = \frac{3 \cdot 44}{3 \cdot 13} = \frac{44}{13} \] Теперь перепишем исходное выражение с сокращенными дробями: \[ \frac{12}{13} \cdot \frac{169}{121} \cdot \frac{11}{48} \cdot \frac{44}{13} \] Шаг 2: Теперь будем сокращать числители с знаменателями из разных дробей. Запишем все числители и знаменатели в виде произведения: \[ \frac{12 \cdot 169 \cdot 11 \cdot 44}{13 \cdot 121 \cdot 48 \cdot 13} \] Разложим числа на простые множители или удобные для сокращения множители: \( 12 = 12 \) \( 169 = 13 \cdot 13 \) \( 11 = 11 \) \( 44 = 4 \cdot 11 \) \( 13 = 13 \) \( 121 = 11 \cdot 11 \) \( 48 = 4 \cdot 12 \) \( 13 = 13 \) Подставим эти разложения в выражение: \[ \frac{12 \cdot (13 \cdot 13) \cdot 11 \cdot (4 \cdot 11)}{13 \cdot (11 \cdot 11) \cdot (4 \cdot 12) \cdot 13} \] Теперь сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: 1. Сократим \( 13 \) в числителе и \( 13 \) в знаменателе: \[ \frac{12 \cdot 13 \cdot 11 \cdot (4 \cdot 11)}{ (11 \cdot 11) \cdot (4 \cdot 12) \cdot 13} \] 2. Сократим еще один \( 13 \) в числителе и \( 13 \) в знаменателе: \[ \frac{12 \cdot 11 \cdot (4 \cdot 11)}{ (11 \cdot 11) \cdot (4 \cdot 12)} \] 3. Сократим \( 11 \) в числителе и \( 11 \) в знаменателе: \[ \frac{12 \cdot (4 \cdot 11)}{ 11 \cdot (4 \cdot 12)} \] 4. Сократим еще один \( 11 \) в числителе и \( 11 \) в знаменателе: \[ \frac{12 \cdot 4}{ 4 \cdot 12} \] 5. Сократим \( 4 \) в числителе и \( 4 \) в знаменателе: \[ \frac{12}{12} \] 6. Сократим \( 12 \) в числителе и \( 12 \) в знаменателе: \[ \frac{1}{1} \] Шаг 3: Запишем окончательный результат. \[ \frac{1}{1} = 1 \] Ответ: \[ 1 \]