Решение:

Вот решение задачи с подробным объяснением, чтобы было удобно переписать в тетрадь: Найдите значение выражения: \[ \sqrt[6]{0,25} \cdot \sqrt[3]{16} \] Решение: Для решения этого выражения нам нужно привести корни к одному показателю или преобразовать числа под корнями. Шаг 1: Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и представим числа в виде степеней. \( 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \) \( 16 = 2^4 \) Теперь выражение выглядит так: \[ \sqrt[6]{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt[3]{2^4} \] Шаг 2: Преобразуем корни в степени с дробными показателями. Напомним, что \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \). \[ \sqrt[6]{\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{6}} \] \[ \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}} \] Теперь подставим это в выражение: \[ \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{4}{3}} \] Шаг 3: Представим \( \frac{1}{4} \) как степень двойки. \( \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} \) Теперь выражение выглядит так: \[ (2^{-2})^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{4}{3}} \] Шаг 4: Используем свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). \[ 2^{-2 \cdot \frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 2^{-\frac{2}{6}} \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}} \] Шаг 5: Используем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). \[ 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 2^{-\frac{1}{3} + \frac{4}{3}} \] Вычислим сумму показателей: \( -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{-1 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1 \) Значит, выражение равно: \[ 2^1 = 2 \] Альтернативный способ (приведение к общему показателю корня): Шаг 1: Преобразуем числа под корнями. \( 0,25 = \frac{1}{4} \) \( \sqrt[6]{\frac{1}{4}} = \sqrt[6]{\frac{1}{2^2}} \) \( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} \) Шаг 2: Приведем корни к общему показателю. НОК(6, 3) = 6. Для \( \sqrt[3]{2^4} \), чтобы показатель корня стал 6, нужно умножить его на 2. Тогда и показатель степени под корнем нужно умножить на 2: \( \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{(2^4)^2} = \sqrt[6]{2^8} \) Теперь выражение выглядит так: \[ \sqrt[6]{\frac{1}{2^2}} \cdot \sqrt[6]{2^8} \] Шаг 3: Используем свойство \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \). \[ \sqrt[6]{\frac{1}{2^2} \cdot 2^8} \] Шаг 4: Выполним умножение под корнем. \[ \frac{1}{2^2} \cdot 2^8 = 2^{-2} \cdot 2^8 = 2^{-2+8} = 2^6 \] Теперь выражение выглядит так: \[ \sqrt[6]{2^6} \] Шаг 5: Извлечем корень. \[ \sqrt[6]{2^6} = 2 \] Ответ: \[ 2 \]