Решение задачи про параллелограмм с подробным разбором каждого утверждения. Определены верные и неверные утверждения с обоснованием.
check_circle
Подробное решение
Хорошо, давайте разберем каждое утверждение о параллелограмме и определим, какие из них верны.
Задача
Отметьте верные утверждения.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение:
1. Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его высот.
Пусть стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), а высоты, опущенные на эти стороны, равны \(h_a\) и \(h_b\) соответственно.
Сумма квадратов всех сторон: \(a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2\).
Сумма квадратов его высот: \(h_a^2 + h_b^2\).
Мы знаем, что площадь параллелограмма \(S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\). Отсюда \(h_a = S/a\) и \(h_b = S/b\).
Тогда \(h_a^2 + h_b^2 = (S/a)^2 + (S/b)^2 = S^2 (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2})\).
Очевидно, что \(2a^2 + 2b^2\) не равно \(S^2 (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2})\) в общем случае.
Например, для прямоугольника со сторонами 3 и 4:
Сумма квадратов сторон: \(2 \cdot (3^2 + 4^2) = 2 \cdot (9 + 16) = 2 \cdot 25 = 50\).
Высоты прямоугольника равны его сторонам, то есть \(h_a = 4\) и \(h_b = 3\).
Сумма квадратов высот: \(4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\).
\(50 \neq 25\).
Это утверждение неверно.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна \(90^\circ\).
В параллелограмме соседние углы (углы, прилежащие к одной стороне) являются односторонними при параллельных прямых и секущей. Сумма таких углов равна \(180^\circ\).
Например, если углы \(\alpha\) и \(\beta\) прилежат к одной стороне, то \(\alpha + \beta = 180^\circ\).
Это утверждение неверно.
3. Угол между высотами параллелограмма, выходящими из одной вершины, равен углу при соседней вершине.
Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть из вершины A проведены две высоты: \(h_1\) к стороне BC и \(h_2\) к стороне CD.
Пусть угол при вершине A равен \(\alpha\). Тогда угол при соседней вершине B (или D) равен \(180^\circ - \alpha\).
Рассмотрим четырёхугольник, образованный вершиной A, основаниями высот и точкой пересечения высот (или их продолжений).
Пусть высоты опущены на стороны BC и CD. Обозначим основания высот как \(H_1\) на BC и \(H_2\) на CD.
Рассмотрим четырёхугольник \(AH_1CH_2\). Углы \(AH_1C\) и \(AH_2C\) прямые.
Сумма углов четырёхугольника \(AH_1CH_2\) равна \(360^\circ\).
Угол \(H_1CH_2\) равен углу C параллелограмма, то есть \(\alpha\).
Тогда угол \(H_1AH_2\) (угол между высотами) равен \(360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha\).
Угол \(180^\circ - \alpha\) — это угол при соседней вершине параллелограмма.
Это утверждение верно.
4. Любой отрезок с вершинами на сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.
Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит эту фигуру на две части, симметричные относительно центра.
Если отрезок проходит через центр симметрии и его концы лежат на границе фигуры (в данном случае на сторонах параллелограмма), то этот отрезок делится центром симметрии пополам.
Это утверждение верно.
5. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от этого параллелограмма равнобедренный треугольник.
Пусть у нас есть параллелограмм ABCD. Проведем биссектрису угла A, которая пересекает сторону BC в точке E.
Угол BAE равен углу EAD (по определению биссектрисы).
Так как AD параллельна BC, то угол EAD равен углу AEB как накрест лежащие углы.
Следовательно, в треугольнике ABE, угол BAE равен углу AEB.
Если два угла в треугольнике равны, то треугольник равнобедренный, и стороны, противолежащие этим углам, равны. То есть, AB = BE.
Таким образом, биссектриса отсекает равнобедренный треугольник ABE.
Это утверждение верно.
