Задача 1
Какую из вершин тележка сможет преодолеть после спуска с «горки», если потерями энергии можно пренебречь? Начальная скорость тележки равна нулю. В ответ запишите без пробелов и знаков препинания в порядке возрастания номер(а) вершин(ы), которую(ые) преодолеет тележка.
На рисунке изображена траектория движения тележки с тремя вершинами, обозначенными римскими цифрами I, II, III. Начальная точка находится на высоте, равной высоте вершины I.
Решение:
1. Понимание условия:
- Тележка начинает движение с некоторой высоты (обозначим её \(h_0\)).
- Начальная скорость тележки равна нулю (\(v_0 = 0\)).
- Потерями энергии можно пренебречь. Это означает, что полная механическая энергия тележки сохраняется.
- Полная механическая энергия \(E\) состоит из потенциальной энергии \(E_p\) и кинетической энергии \(E_k\): \(E = E_p + E_k\).
- Потенциальная энергия определяется формулой \(E_p = mgh\), где \(m\) — масса тележки, \(g\) — ускорение свободного падения, \(h\) — высота.
- Кинетическая энергия определяется формулой \(E_k = \frac{mv^2}{2}\), где \(v\) — скорость тележки.
2. Определение начальной энергии:
В начальной точке тележка находится на высоте, равной высоте вершины I. Поскольку начальная скорость равна нулю, вся энергия тележки в этот момент является потенциальной.
Пусть высота вершины I равна \(h_I\). Тогда начальная полная механическая энергия тележки равна:
\[E_{начальная} = mgh_I + \frac{m \cdot 0^2}{2} = mgh_I\]3. Условие преодоления вершины:
Чтобы тележка смогла преодолеть какую-либо вершину, её полная механическая энергия должна быть не меньше потенциальной энергии на этой вершине. То есть, на вершине тележка должна иметь либо нулевую, либо положительную кинетическую энергию.
Если высота вершины равна \(h_{вершины}\), то потенциальная энергия на этой вершине равна \(mgh_{вершины}\). Для преодоления вершины должно выполняться условие:
\[E_{начальная} \ge mgh_{вершины}\] \[mgh_I \ge mgh_{вершины}\]Разделив обе части неравенства на \(mg\) (поскольку \(m > 0\) и \(g > 0\)), получаем:
\[h_I \ge h_{вершины}\]Это означает, что тележка сможет преодолеть только те вершины, высота которых не превышает начальную высоту (высоту вершины I).
4. Анализ высот вершин по рисунку:
Посмотрим на рисунок и сравним высоты вершин I, II и III относительно начальной высоты (высоты вершины I):
- Вершина I: Высота вершины I равна начальной высоте (\(h_I\)). Тележка сможет её преодолеть (или, точнее, достигнуть этой высоты).
- Вершина II: Высота вершины II (\(h_{II}\)) явно выше, чем высота вершины I (\(h_I\)). Следовательно, \(h_{II} > h_I\). Тележка не сможет преодолеть вершину II, так как для этого ей потребовалась бы большая энергия, чем та, которой она обладает.
- Вершина III: Высота вершины III (\(h_{III}\)) явно ниже, чем высота вершины I (\(h_I\)). Следовательно, \(h_{III} < h_I\). Тележка сможет преодолеть вершину III.
5. Вывод:
Тележка сможет преодолеть вершины I и III.
6. Форматирование ответа:
В ответ нужно записать номера вершин в порядке возрастания, без пробелов и знаков препинания.
Номера вершин: I, III.
В порядке возрастания: 13.
Ответ: 13