Решение задачи на подобие треугольников ABC и KBM

Дано: \( \triangle ABC \), \( K \in AB \), \( M \in BC \). \( AK = 6 \), \( KB = 3 \), \( BM = 2 \), \( MC = 4 \), \( AC = 12 \). Доказать: \( \triangle ABC \sim \triangle KBM \). Найти: \( KM \). Решение: 1. Найдем длины сторон \( AB \) и \( BC \): \[ AB = AK + KB = 6 + 3 = 9 \] \[ BC = BM + MC = 2 + 4 = 6 \] 2. Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( KBM \). У них есть общий угол \( \angle B \). Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу: \[ \frac{KB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{BM}{AB} = \frac{2}{9} \] Заметим, что в данном случае удобнее сопоставить стороны так: \[ \frac{KB}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{BM}{BC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Так как \( \frac{KB}{AB} = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{3} \) и \( \angle B \) — общий, то \( \triangle ABC \sim \triangle KBM \) по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность всех сходственных сторон: \[ \frac{KM}{AC} = \frac{KB}{AB} \] \[ \frac{KM}{12} = \frac{1}{3} \] 4. Вычислим \( KM \): \[ KM = \frac{12 \cdot 1}{3} = 4 \] Ответ: \( KM = 4 \).