Решение задачи: Подобные треугольники (Вариант 2)

Вот решения задач из контрольной работы №2 по теме «Подобные треугольники». Контрольная работа №2. По теме «Подобные треугольники» Вариант 2 1. По рис. \(PE \parallel NK\). \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\). Решение: а) Так как \(PE \parallel NK\), то треугольники \(MPE\) и \(MNK\) подобны по двум углам (угол \(M\) — общий, \(\angle MPE = \angle MNK\) как соответственные углы при параллельных прямых \(PE\) и \(NK\) и секущей \(MN\)). Из подобия треугольников следует отношение сторон: \[\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK} = \frac{PE}{NK}\] Подставим известные значения: \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). Чтобы найти \(MK\), используем отношение \(\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK}\). \[\frac{8}{12} = \frac{6}{MK}\] Умножим крест-на-крест: \[8 \cdot MK = 12 \cdot 6\] \[8 \cdot MK = 72\] \[MK = \frac{72}{8}\] \[MK = 9\] см. б) Чтобы найти отношение \(PE : NK\), используем отношение \(\frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN}\). \[\frac{PE}{NK} = \frac{8}{12}\] Сократим дробь: \[\frac{PE}{NK} = \frac{2}{3}\] Ответ: а) \(MK = 9\) см; б) \(PE : NK = 2 : 3\). 2. В \(\triangle ABC\) \(AB = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle B = 70^\circ\), а в \(\triangle MNK\) \(MN = 6\) см, \(NK = 9\) см, \(\angle N = 70^\circ\). Найдите сторону \(AC\) и угол \(C\) треугольника \(ABC\), если \(MK = 7\) см, \(\angle K = 60^\circ\). Решение: Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MNK\). У нас есть: В \(\triangle ABC\): \(AB = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle B = 70^\circ\). В \(\triangle MNK\): \(MN = 6\) см, \(NK = 9\) см, \(\angle N = 70^\circ\). Сравним отношения сторон, прилежащих к равным углам: \[\frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2\] \[\frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2\] Так как \(\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = 2\) и \(\angle B = \angle N = 70^\circ\), то треугольники \(ABC\) и \(MNK\) подобны по двум сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников). Коэффициент подобия \(k = 2\). Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны. а) Найдем сторону \(AC\). \[\frac{AC}{MK} = k\] \[\frac{AC}{7} = 2\] \[AC = 2 \cdot 7\] \[AC = 14\] см. б) Найдем угол \(C\) треугольника \(ABC\). Соответствующие углы равны: \(\angle C = \angle K\). Так как \(\angle K = 60^\circ\), то \(\angle C = 60^\circ\). Ответ: \(AC = 14\) см, \(\angle C = 60^\circ\). 3. Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\) так, что \(\angle ACO = \angle BDO\), \(AO : OB = 2 : 3\). Найдите периметр треугольника \(ACO\). Если периметр треугольника \(BOD\) равен 21 см. Решение: Рассмотрим треугольники \(ACO\) и \(BOD\). У нас есть: 1. \(\angle ACO = \angle BDO\) (дано). 2. \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные углы. Следовательно, треугольники \(ACO\) и \(BOD\) подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия, и отношение периметров также равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия \(k = \frac{AO}{BO}\). Дано \(AO : OB = 2 : 3\), значит \(k = \frac{2}{3}\). Отношение периметров: \[\frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k\] \[\frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3}\] Чтобы найти \(P_{ACO}\), умножим: \[P_{ACO} = \frac{2}{3} \cdot 21\] \[P_{ACO} = 2 \cdot \frac{21}{3}\] \[P_{ACO} = 2 \cdot 7\] \[P_{ACO} = 14\] см. Ответ: Периметр треугольника \(ACO\) равен 14 см. 4. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\) и \(BC\) основания) диагонали пересекаются в точке \(O\). Площадь треугольника \(AOD = 32\) см\(^2\), площадь треугольника \(BOC = 8\) см\(^2\). Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см. Решение: В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Треугольники \(AOD\) и \(BOC\) подобны. Это следует из того, что \(AD \parallel BC\) (основания трапеции параллельны). 1. \(\angle DAO = \angle BCO\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AC\). 2. \(\angle ADO = \angle CBO\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\). 3. \(\angle AOD = \angle BOC\) как вертикальные углы. Следовательно, \(\triangle AOD \sim \triangle COB\) (или \(\triangle AOD \sim \triangle BOC\)). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. \[\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2\] Дано \(S_{AOD} = 32\) см\(^2\), \(S_{BOC} = 8\) см\(^2\). \[k^2 = \frac{32}{8}\] \[k^2 = 4\] \[k = \sqrt{4}\] \[k = 2\] (коэффициент подобия всегда положительный). Коэффициент подобия \(k\) также равен отношению соответствующих сторон. Так как \(\triangle AOD \sim \triangle COB\), то \(k = \frac{AD}{CB}\). Мы знаем, что большее основание равно 10 см. Поскольку \(S_{AOD} > S_{BOC}\), то \(AD\) — большее основание, а \(BC\) — меньшее. Значит, \(AD = 10\) см. \[k = \frac{AD}{BC}\] \[2 = \frac{10}{BC}\] Чтобы найти \(BC\), выразим его: \[BC = \frac{10}{2}\] \[BC = 5\] см. Ответ: Меньшее основание трапеции равно 5 см.