Решение задачи 10: Доказательство, что FAKB - ромб

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача 10 Дано: \( \triangle DFE \) — равнобедренный, \( DE \) — основание. \( AK \) и \( BK \) — средние линии. Доказать: \( FAKB \) — ромб. Доказательство: 1) Так как \( \triangle DFE \) равнобедренный с основанием \( DE \), то боковые стороны равны: \( DF = FE \). 2) Точки \( A \) и \( B \) являются серединами сторон \( DF \) и \( FE \) соответственно (так как \( AK \) и \( BK \) — средние линии). Следовательно: \[ FA = \frac{1}{2} DF, \quad FB = \frac{1}{2} FE \] Так как \( DF = FE \), то \( FA = FB \). 3) По свойству средней линии треугольника: \( AK \parallel FE \) и \( AK = \frac{1}{2} FE = FB \). \( BK \parallel DF \) и \( BK = \frac{1}{2} DF = FA \). 4) В четырехугольнике \( FAKB \) противоположные стороны параллельны (\( AK \parallel FB \) и \( BK \parallel FA \)), значит это параллелограмм. 5) Так как у этого параллелограмма смежные стороны равны (\( FA = FB \)), то \( FAKB \) — ромб. Что и требовалось доказать. Задача 11 Дано: \( \triangle ABD \), \( AL \) и \( DS \) — медианы, \( AL \cap DS = Q \). \( AQ = 8 \), \( QS = 5 \), \( DB = 16 \). Найти: \( P_{\triangle DQL} \). Решение: 1) По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении \( 2:1 \), считая от вершины. 2) Рассмотрим медиану \( AL \). Точка \( Q \) делит ее так, что \( AQ : QL = 2 : 1 \). \[ QL = \frac{1}{2} AQ = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \] 3) Рассмотрим медиану \( DS \). Точка \( Q \) делит ее так, что \( DQ : QS = 2 : 1 \). \[ DQ = 2 \cdot QS = 2 \cdot 5 = 10 \] 4) Так как \( AL \) — медиана, то \( L \) — середина стороны \( DB \). \[ DL = \frac{1}{2} DB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \] 5) Найдем периметр \( \triangle DQL \): \[ P_{\triangle DQL} = DQ + QL + DL = 10 + 4 + 8 = 22 \] Ответ: 22. Задача 12 Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = 10 \), \( BC = 13 \), \( AC = 9 \). \( K, M, P \) — середины сторон. Найти: \( P_{\triangle KMP} \). Решение: 1) Отрезки \( KM, MP, PK \) являются средними линиями треугольника \( ABC \), так как они соединяют середины его сторон. 2) По свойству средней линии: \[ KM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5 \] \[ MP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \] \[ PK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5 \] 3) Найдем периметр \( \triangle KMP \): \[ P_{\triangle KMP} = KM + MP + PK = 4,5 + 5 + 6,5 = 16 \] (Заметим, что периметр треугольника, образованного средними линиями, всегда равен половине периметра исходного треугольника). Ответ: 16.