Решение задачи №154: Средняя вращательная энергия молекулы

Задача №154 Дано: \( U_m = 6,02 \text{ кДж/моль} = 6020 \text{ Дж/моль} \) \( i = 5 \) (число степеней свободы для двухатомного газа) \( i_{вр} = 2 \) (число вращательных степеней свободы) \( N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \) (постоянная Авогадро) Найти: \( \langle \varepsilon_{вр} \rangle \) — ? Решение: 1. Молярная внутренняя энергия идеального газа связана с температурой формулой: \[ U_m = \frac{i}{2} RT \] Отсюда выразим произведение \( RT \): \[ RT = \frac{2 U_m}{i} \] 2. Средняя кинетическая энергия вращательного движения одной молекулы определяется числом вращательных степеней свободы \( i_{вр} \): \[ \langle \varepsilon_{вр} \rangle = \frac{i_{вр}}{2} kT \] где \( k \) — постоянная Больцмана. 3. Вспомним связь между газовой постоянной \( R \), постоянной Больцмана \( k \) и числом Авогадро \( N_A \): \[ k = \frac{R}{N_A} \] Подставим это в формулу для энергии: \[ \langle \varepsilon_{вр} \rangle = \frac{i_{вр}}{2} \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T = \frac{i_{вр}}{2 N_A} \cdot RT \] 4. Подставим выражение для \( RT \), полученное в первом пункте: \[ \langle \varepsilon_{вр} \rangle = \frac{i_{вр}}{2 N_A} \cdot \frac{2 U_m}{i} = \frac{i_{вр} \cdot U_m}{i \cdot N_A} \] 5. Подставим числовые значения (для двухатомного газа \( i = 5 \), из них \( i_{вр} = 2 \)): \[ \langle \varepsilon_{вр} \rangle = \frac{2 \cdot 6020}{5 \cdot 6,02 \cdot 10^{23}} \] \[ \langle \varepsilon_{вр} \rangle = \frac{12040}{30,1 \cdot 10^{23}} \] \[ \langle \varepsilon_{вр} \rangle = 400 \cdot 10^{-23} \text{ Дж} = 4 \cdot 10^{-21} \text{ Дж} \] Ответ: \( \langle \varepsilon_{вр} \rangle = 4 \cdot 10^{-21} \text{ Дж} \).