schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение тригонометрической задачи с sin α = -0,8
help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Найдено решение задачи с использованием формул половинного угла. Вычислены значения cos(α/2) и tg(α/2) при заданном sin α = -0,8 и угле в III четверти.
Подробное решение
Ниже представлено решение задач с доски, оформленное для записи в тетрадь.
Задача №1
Дано:
\[ \sin \alpha = -0,8 \]
\[ 180^\circ < \alpha < 270^\circ \] (III четверть)
Найти: \( \cos \frac{\alpha}{2} \), \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} \)
Решение:
1. Найдем \( \cos \alpha \). Так как угол в III четверти, косинус отрицательный:
\[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-0,8)^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6 \]
2. Определим четверть для угла \( \frac{\alpha}{2} \):
\[ 180^\circ < \alpha < 270^\circ \implies 90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ \] (II четверть)
Во II четверти \( \cos \) отрицательный, \( \text{tg} \) отрицательный.
3. Вычислим \( \cos \frac{\alpha}{2} \) по формуле половинного угла:
\[ \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-0,6)}{2}} = -\sqrt{\frac{0,4}{2}} = -\sqrt{0,2} \]
4. Вычислим \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} \):
\[ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{-0,8}{1 - 0,6} = \frac{-0,8}{0,4} = -2 \]
Ответ: \( \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{0,2} \); \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} = -2 \).
Задача №3
Дано:
\[ \cos \alpha = \frac{119}{169} \]
\[ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \] (I четверть)
Найти: \( \sin \frac{\alpha}{2} \), \( \cos \frac{\alpha}{2} \), \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} \)
Решение:
1. Определим четверть для \( \frac{\alpha}{2} \):
\[ 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} \] (I четверть, все функции положительны).
2. Вычислим значения:
\[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{119}{169}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{50}{169}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \]
\[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{119}{169}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{288}{169}}{2}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \]
\[ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} \]
Ответ: \( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{5}{13} \); \( \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{12}{13} \); \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{5}{12} \).
Задача №4
Дано:
\[ \cos \alpha = \frac{3}{4} \]
\[ 270^\circ < \alpha < 360^\circ \] (IV четверть)
Найти: \( \sin \frac{\alpha}{2} \), \( \cos \frac{\alpha}{2} \), \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} \)
Решение:
1. Определим четверть для \( \frac{\alpha}{2} \):
\[ 135^\circ < \frac{\alpha}{2} < 180^\circ \] (II четверть).
В II четверти: \( \sin > 0 \), \( \cos < 0 \), \( \text{tg} < 0 \).
2. Вычислим значения:
\[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - 3/4}{2}} = \sqrt{\frac{1/4}{2}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
\[ \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + 3/4}{2}} = -\sqrt{\frac{7/4}{2}} = -\sqrt{\frac{7}{8}} = -\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{14}}{4} \]
\[ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha / 2}{\cos \alpha / 2} = \frac{\sqrt{2}/4}{-\sqrt{14}/4} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = -\frac{1}{\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}}{7} \]
Ответ: \( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \); \( \cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{14}}{4} \); \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{7} \).