Найти tg(α/2) при tg(α) = 3 и 180° < α < 270°: Решение

Дано: \[ \text{tg } \alpha = 3 \] \[ 180^\circ < \alpha < 270^\circ \] Найти: \[ \text{tg } \frac{\alpha}{2} - ? \] Решение: 1. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла для связи \( \text{tg } \alpha \) и \( \text{tg } \frac{\alpha}{2} \): \[ \text{tg } \alpha = \frac{2 \text{tg } \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \] 2. Подставим известное значение \( \text{tg } \alpha = 3 \) в формулу. Пусть \( \text{tg } \frac{\alpha}{2} = x \): \[ 3 = \frac{2x}{1 - x^2} \] 3. Решим полученное уравнение: \[ 3(1 - x^2) = 2x \] \[ 3 - 3x^2 = 2x \] \[ 3x^2 + 2x - 3 = 0 \] 4. Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 4 + 36 = 40 \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3} \] Получаем два возможных значения: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{10}}{3}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{10}}{3} \] 5. Определим четверть, в которой находится угол \( \frac{\alpha}{2} \). По условию: \[ 180^\circ < \alpha < 270^\circ \] Разделим все части неравенства на 2: \[ \frac{180^\circ}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{270^\circ}{2} \] \[ 90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ \] Угол \( \frac{\alpha}{2} \) находится во второй четверти. Тангенс во второй четверти отрицателен, следовательно: \[ \text{tg } \frac{\alpha}{2} < 0 \] 6. Выбираем отрицательный корень: \[ \text{tg } \frac{\alpha}{2} = \frac{-1 - \sqrt{10}}{3} \] Ответ: \[ \text{tg } \frac{\alpha}{2} = \frac{-1 - \sqrt{10}}{3} \]