Задача: Наклонные и расстояние до плоскости

Задача №3 Дано: \(l_1 = 23\) см — первая наклонная; \(l_2 = 33\) см — вторая наклонная; \(d_1 : d_2 = 2 : 3\) — отношение проекций наклонных. Найти: \(h\) — расстояние от точки до плоскости (перпендикуляр). Решение: 1. Пусть \(x\) — коэффициент пропорциональности. Тогда проекции наклонных равны: \(d_1 = 2x\) \(d_2 = 3x\) 2. Расстояние от точки до плоскости — это перпендикуляр \(h\), который образует с наклонными и их проекциями два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора для каждого треугольника выразим квадрат высоты \(h^2\): Из первого треугольника: \(h^2 = l_1^2 - d_1^2\) Из второго треугольника: \(h^2 = l_2^2 - d_2^2\) 3. Приравняем полученные выражения: \[l_1^2 - d_1^2 = l_2^2 - d_2^2\] 4. Подставим известные значения: \[23^2 - (2x)^2 = 33^2 - (3x)^2\] \[529 - 4x^2 = 1089 - 9x^2\] 5. Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \[9x^2 - 4x^2 = 1089 - 529\] \[5x^2 = 560\] \[x^2 = 560 : 5\] \[x^2 = 112\] 6. Теперь найдем искомое расстояние \(h\), используя формулу \(h^2 = l_1^2 - d_1^2\): \[h^2 = 23^2 - (2x)^2\] \[h^2 = 529 - 4x^2\] Подставим найденное значение \(x^2 = 112\): \[h^2 = 529 - 4 \cdot 112\] \[h^2 = 529 - 448\] \[h^2 = 81\] \[h = \sqrt{81}\] \[h = 9\] см. Ответ: расстояние от точки до плоскости равно 9 см.