Решение задач на половинный угол: sin(α/2) и tg(α/2)

Пример 1. Дано: \(\cos \alpha = -0,02\), \(\alpha \in (0; \pi)\). Найти: \(\sin \frac{\alpha}{2}\). Решение: Воспользуемся формулой половинного угла: \[ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \] Подставим значение косинуса: \[ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-0,02)}{2} = \frac{1,02}{2} = 0,51 \] Так как \(\alpha \in (0; \pi)\), то \(\frac{\alpha}{2} \in (0; \frac{\pi}{2})\). В первой четверти синус положителен, значит: \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{0,51} \] Ответ: \(\sqrt{0,51}\). Пример 2. Дано: \(\cos \alpha = 0,8\), \(\alpha \in (\pi; 2\pi)\). Найти: \(12 \text{tg} \frac{\alpha}{2}\). Решение: Воспользуемся формулой тангенса половинного угла через косинус: \[ \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \] Подставим значение: \[ \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - 0,8}{1 + 0,8} = \frac{0,2}{1,8} = \frac{1}{9} \] Определим знак. Так как \(\alpha \in (\pi; 2\pi)\), то \(\frac{\alpha}{2} \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\). Это вторая четверть, где тангенс отрицателен: \[ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3} \] Вычислим искомое выражение: \[ 12 \text{tg} \frac{\alpha}{2} = 12 \cdot (-\frac{1}{3}) = -4 \] Ответ: \(-4\). Пример 3. Дано: \(\sin x = -\frac{2\sqrt{6}}{5}\), \(2x \in (3\pi; 4\pi)\). Найти: \(11 \cos 2x\). Решение: Воспользуемся формулой косинуса двойного угла через синус: \[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \] Подставим значение синуса: \[ \cos 2x = 1 - 2 \cdot (-\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - 2 \cdot \frac{24}{25} = 1 - \frac{48}{25} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \cos 2x = \frac{25 - 48}{25} = -\frac{23}{25} = -0,92 \] Заметим, что условие \(2x \in (3\pi; 4\pi)\) подтверждает отрицательное значение косинуса (4-я четверть для угла \(2x - 2\pi\), но здесь \(2x\) в 4-й четверти второго круга, где косинус должен быть положителен. Однако формула через квадрат синуса дает однозначный результат для любого \(x\)). Пересчитаем искомое выражение: \[ 11 \cos 2x = 11 \cdot (-0,92) = -10,12 \] Ответ: \(-10,12\).