Решение:

Ниже представлено решение задач с оформлением, удобным для переписывания в школьную тетрадь. Задача №1 Дано: \( \angle A = \angle B \), \( CO = 4 \), \( DO = 6 \), \( AO = 5 \). Найти: а) \( OB \); б) \( AC : BD \); в) \( S_{AOC} : S_{BOD} \). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( AOC \) и \( BOD \). По условию \( \angle A = \angle B \). \( \angle AOC = \angle BOD \) как вертикальные углы. Следовательно, \( \triangle AOC \sim \triangle BOD \) по двум углам (первый признак подобия). 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD} \] а) Найдем \( OB \), используя первую часть пропорции: \[ \frac{5}{OB} = \frac{4}{6} \] \[ 4 \cdot OB = 5 \cdot 6 \] \[ 4 \cdot OB = 30 \] \[ OB = 30 : 4 = 7,5 \] б) Найдем отношение \( AC : BD \). Оно равно коэффициенту подобия \( k \): \[ \frac{AC}{BD} = \frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Значит, \( AC : BD = 2 : 3 \). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Значит, \( S_{AOC} : S_{BOD} = 4 : 9 \). Ответ: а) 7,5; б) 2 : 3; в) 4 : 9. Задача №2 Дано: \( \triangle ABC \): \( AB = 4 \) см, \( BC = 7 \) см, \( AC = 6 \) см. \( \triangle MNK \): \( MK = 8 \) см, \( MN = 12 \) см, \( KN = 14 \) см. \( \angle A = 80^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \). Найти: углы \( \triangle MNK \). Решение: 1. Проверим подобие треугольников, сравнив отношения их сторон. Расположим стороны в порядке возрастания: Для \( \triangle ABC \): 4, 6, 7. Для \( \triangle MNK \): 8, 12, 14. Составим отношения: \[ \frac{MK}{AB} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ \frac{MN}{AC} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{KN}{BC} = \frac{14}{7} = 2 \] Так как отношения сторон равны, то \( \triangle ABC \sim \triangle MKN \) по трем сторонам (третий признак подобия). 2. В подобных треугольниках против соответственных сторон лежат равные углы: Стороне \( MK \) (соответствует \( AB \)) противолежит \( \angle N \). Значит, \( \angle N = \angle C \). Стороне \( MN \) (соответствует \( AC \)) противолежит \( \angle K \). Значит, \( \angle K = \angle B = 60^\circ \). Стороне \( KN \) (соответствует \( BC \)) противолежит \( \angle M \). Значит, \( \angle M = \angle A = 80^\circ \). 3. Найдем \( \angle C \) в \( \triangle ABC \): \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \] Следовательно, \( \angle N = 40^\circ \). Ответ: \( \angle M = 80^\circ \), \( \angle K = 60^\circ \), \( \angle N = 40^\circ \).