Решение задач по теории вероятностей: Вариант 2

Ниже представлено решение задач из варианта 2, оформленное для записи в тетрадь. Задача №1. На рисунке 22 изображено дерево вероятностей. Чтобы найти вероятность события \(N\), нужно сложить вероятности всех путей, ведущих в область \(N\). 1) Путь влево и вниз: \(P_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\) 2) Путь по центру и вниз: \(P_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\) 3) Путь вправо и вниз: \(P_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\) Суммарная вероятность события \(N\): \[P(N) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{2}{6} = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} = \frac{4}{9}\] Ответ: \(\frac{4}{9}\). Задача №2. На рисунке 23 пешеход выходит из точки \(S\). На первой развилке 3 пути, значит вероятность выбора каждого пути равна \(\frac{1}{3}\). Точка \(M\) находится на среднем пути. На второй развилке (после выбора среднего пути) есть 2 варианта. Вероятность попасть в точку \(M\): \[P(M) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\] Ответ: \(\frac{1}{6}\). Задача №3. Анализируем схему на рисунке 24. Из точки \(S\) выходят 3 дорожки (вверх к \(A\), в центр к \(K\), вниз). Вероятность выбора каждой — \(\frac{1}{3}\). а) Чтобы прийти в точку \(E\), нужно сначала выбрать нижнюю дорожку (вероятность \(\frac{1}{3}\)), а затем на развилке выбрать одну из 3 дорожек (к \(E\), \(F\) или \(G\)). \[P(E) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\] б) Чтобы прийти в \(B\) или \(C\), нужно выбрать центральную дорожку к точке \(K\) (вероятность \(\frac{1}{3}\)). В точке \(K\) есть 4 выхода (\(B\), \(C\), \(D\) и еще один). Вероятность каждого \(\frac{1}{4}\). \[P(B \text{ или } C) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\] в) Условие "уже пришёл в точку \(K\)" означает, что мы рассматриваем только выходы из точки \(K\). Из рисунка видно, что из \(K\) нельзя попасть в \(E\) (точка \(E\) находится в нижней ветке). \[P(E | K) = 0\] г) Вероятность попасть в \(B\) или \(F\) при условии, что пришёл в \(K\). Из точки \(K\) можно попасть в \(B\) (вероятность \(\frac{1}{4}\)), но нельзя попасть в \(F\). \[P(B \text{ или } F | K) = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}\] Ответ: а) \(\frac{1}{9}\); б) \(\frac{1}{6}\); в) \(0\); г) \(\frac{1}{4}\).