Решение задачи о подобии треугольников ABC и NMK (Вариант 2)

Контрольная работа № 3. Вариант 2. Задача 1. Доказать подобие треугольников ABC и NMK. Дано: \( \triangle ABC \): \( AC = 3,2 \), \( BC = 3 \), \( \angle C = 70^\circ \). \( \triangle NMK \): \( NM = 6 \), \( NK = 6,4 \), \( \angle N = 70^\circ \). Доказательство: 1. Рассмотрим отношение соответствующих сторон треугольников: \[ \frac{NK}{AC} = \frac{6,4}{3,2} = 2 \] \[ \frac{NM}{BC} = \frac{6}{3} = 2 \] Следовательно, \( \frac{NK}{AC} = \frac{NM}{BC} \). 2. Углы между этими сторонами равны по условию: \( \angle C = \angle N = 70^\circ \). 3. Треугольники ABC и NMK подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать. Задача 2. Доказать подобие треугольников ABC и \( A_1B_1C_1 \). Дано: \( \triangle ABC \): \( AB = 6 \), \( BC = 7 \), \( AC = 8 \). \( \triangle A_1B_1C_1 \): \( A_1B_1 = 18 \), \( B_1C_1 = 21 \), \( A_1C_1 = 24 \). Доказательство: Проверим пропорциональность всех трех сторон: \[ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{21}{7} = 3 \] \[ \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{24}{8} = 3 \] Так как \( \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = 3 \), то треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам). Что и требовалось доказать. Задача 3. \( MN \parallel DF \). Найдите MN, если \( DM = 6 \) см, \( EM = 8 \) см, \( DF = 21 \) см. Решение: 1. Рассмотрим треугольники EMN и EDF. У них угол E — общий, а \( \angle EMN = \angle EDF \) как соответствующие углы при параллельных прямых \( MN \parallel DF \) и секущей ED. Значит, \( \triangle EMN \sim \triangle EDF \) по двум углам. 2. Найдем сторону ED: \[ ED = EM + DM = 8 + 6 = 14 \text{ (см)} \] 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{MN}{DF} = \frac{EM}{ED} \] \[ \frac{MN}{21} = \frac{8}{14} \] 4. Выразим MN: \[ MN = \frac{21 \cdot 8}{14} = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12 \text{ (см)} \] Ответ: 12 см. Задача 4. Даны стороны треугольников ABC и DEF, если \( AB = 12 \) см, \( BC = 15 \) см, \( AC = 21 \) см, \( DE = 16 \) см, \( EF = 20 \) см, \( DF = 28 \) см. Найти отношение площадей этих треугольников. Решение: 1. Проверим, подобны ли треугольники, вычислив отношения сторон: \[ \frac{DE}{AB} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \] \[ \frac{EF}{BC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \] \[ \frac{DF}{AC} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3} \] Стороны пропорциональны, значит \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) с коэффициентом подобия \( k = \frac{4}{3} \) (если рассматривать отношение DEF к ABC). 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9} \] Если искать отношение \( \frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} \), то оно будет равно \( \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} \). Ответ: \( \frac{16}{9} \) (или 16:9).