Решение задачи №3: Вероятность в графе

Задача №3 Решение: Для начала проанализируем схему на рис. 24. Из начальной точки S выходят 3 дорожки (верхняя, средняя к точке K и нижняя). Значит, вероятность выбора любого из этих трех направлений равна \( \frac{1}{3} \). а) Найдем вероятность того, что пешеход придет в точку E. Чтобы попасть в точку E, пешеход должен сначала из точки S пойти по средней дорожке в точку K, а затем из точки K выбрать дорожку, ведущую к E. 1. Вероятность попасть в точку K из S: \( P(S \to K) = \frac{1}{3} \). 2. Из точки K выходят 3 дорожки (к C, D и E). Вероятность выбрать путь к E: \( P(K \to E) = \frac{1}{3} \). Итоговая вероятность: \[ P(E) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \] б) Найдем вероятность того, что он придет в одну из точек B или C. Это сумма вероятностей двух несовместных событий: попадания в B и попадания в C. 1. Путь к B: из S нужно выбрать верхнюю дорожку (вероятность \( \frac{1}{3} \)), затем на развилке выбрать путь к B (там 2 пути, значит вероятность \( \frac{1}{2} \)). \[ P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \] 2. Путь к C: из S нужно выбрать среднюю дорожку к K (вероятность \( \frac{1}{3} \)), затем из K выбрать путь к C (вероятность \( \frac{1}{3} \)). \[ P(C) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \] Итоговая вероятность: \[ P(B \text{ или } C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18} \] в) Найдем вероятность того, что он придет в точку E при условии, что он уже пришел в точку K. Это условная вероятность. Если пешеход уже находится в точке K, нам нужно рассмотреть только развилку в этой точке. Из точки K выходят 3 равноправные дорожки (к C, D и E). \[ P(E | K) = \frac{1}{3} \] г) Найдем вероятность того, что он попадет в одну из точек B или F при условии, что он пришел в точку K. Если пешеход находится в точке K, он может попасть только в точки C, D или E. Точки B и F находятся на других ветках схемы, и чтобы попасть в них, пешеходу пришлось бы вернуться назад в точку S, что запрещено условием задачи ("не поворачивает назад"). Следовательно, вероятность попасть в B или F из точки K равна 0. \[ P(B \text{ или } F | K) = 0 \] Ответ: а) \( \frac{1}{9} \); б) \( \frac{5}{18} \); в) \( \frac{1}{3} \); г) \( 0 \).