Задача: Вычислить мгновенную скорость и мгновенное ускорение в точке М, нормальное ускорение и полное в точке М, указать направление векторов скорости и ускорения. Определить вид движения.
Дано:
- Закон движения: \(S = 0,9t^2\)
- Длина прямолинейного участка: \(L = 1,5\) м
- Радиус первого закругления: \(r_1 = 1\) м
- Радиус второго закругления: \(r_2 = 0,5\) м
Решение:
1. Определим время, за которое тело достигнет точки М.
Точка М находится на втором закруглении. Для того чтобы найти время, необходимо определить путь, пройденный телом до точки М.
Путь до точки М состоит из:
- Прямолинейного участка: \(L = 1,5\) м
- Первого закругления (полуокружность): \(S_1 = \pi r_1 / 2 = \pi \cdot 1 / 2 = \pi / 2 \approx 1,57\) м
- Части второго закругления. Из рисунка видно, что угол поворота на втором закруглении до точки М составляет \(30^\circ\). Длина дуги второго закругления до точки М: \(S_2 = r_2 \cdot \alpha\), где \(\alpha\) - угол в радианах.
Переведем \(30^\circ\) в радианы: \(\alpha = 30^\circ \cdot (\pi / 180^\circ) = \pi / 6\) рад.
Тогда \(S_2 = 0,5 \cdot (\pi / 6) = \pi / 12 \approx 0,26\) м.
Полный путь до точки М: \(S_M = L + S_1 + S_2 = 1,5 + \pi / 2 + \pi / 12 = 1,5 + 6\pi / 12 + \pi / 12 = 1,5 + 7\pi / 12 \approx 1,5 + 1,83 \approx 3,33\) м.
Теперь найдем время \(t_M\), когда тело достигнет точки М, используя закон движения \(S = 0,9t^2\):
\(3,33 = 0,9t_M^2\)
\(t_M^2 = 3,33 / 0,9 \approx 3,7\) с\(^2\)
\(t_M = \sqrt{3,7} \approx 1,92\) с.
2. Вычислим мгновенную скорость в точке М.
Мгновенная скорость - это первая производная от пути по времени: \(v = dS/dt\).
\(v = d(0,9t^2)/dt = 0,9 \cdot 2t = 1,8t\).
В точке М, при \(t_M \approx 1,92\) с:
\(v_M = 1,8 \cdot 1,92 \approx 3,46\) м/с.
Направление вектора скорости: Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в точке М. На рисунке это направление показано стрелкой, касательной к дуге второго закругления в точке М, под углом \(30^\circ\) к вертикали (или \(60^\circ\) к горизонтали).
3. Вычислим мгновенное ускорение в точке М.
Полное ускорение состоит из тангенциального (касательного) и нормального (центростремительного) ускорений.
а) Тангенциальное ускорение \(a_\tau\):
Тангенциальное ускорение - это первая производная от скорости по времени: \(a_\tau = dv/dt\).
\(a_\tau = d(1,8t)/dt = 1,8\) м/с\(^2\).
Тангенциальное ускорение постоянно и равно \(1,8\) м/с\(^2\).
Направление вектора тангенциального ускорения: Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к траектории в точке М, в ту же сторону, что и вектор скорости, так как скорость увеличивается (движение ускоренное).
б) Нормальное (центростремительное) ускорение \(a_n\):
Нормальное ускорение вычисляется по формуле: \(a_n = v^2 / R\), где \(R\) - радиус кривизны траектории в данной точке.
В точке М тело движется по дуге второго закругления, радиус которого \(r_2 = 0,5\) м.
\(a_n = v_M^2 / r_2 = (3,46)^2 / 0,5 = 11,9716 / 0,5 \approx 23,94\) м/с\(^2\).
Направление вектора нормального ускорения: Вектор нормального ускорения направлен перпендикулярно вектору скорости, к центру кривизны траектории. В точке М центр кривизны находится внутри дуги второго закругления.
в) Полное ускорение \(a\):
Полное ускорение - это векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Поскольку они перпендикулярны, модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:
\(a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}\)
\(a = \sqrt{(1,8)^2 + (23,94)^2} = \sqrt{3,24 + 573,1236} = \sqrt{576,3636} \approx 24,01\) м/с\(^2\).
Направление вектора полного ускорения: Вектор полного ускорения направлен под углом \(\phi\) к вектору скорости, где \(\tan \phi = a_n / a_\tau\). В данном случае \(\tan \phi = 23,94 / 1,8 \approx 13,3\). Угол \(\phi = \arctan(13,3) \approx 85,7^\circ\). Вектор полного ускорения направлен в сторону центра кривизны, но отклонен от нормали в сторону движения.
4. Определим вид движения.
Поскольку тангенциальное ускорение \(a_\tau = 1,8\) м/с\(^2\) не равно нулю, скорость тела изменяется по модулю. Это означает, что движение является неравномерным.
Поскольку нормальное ускорение \(a_n \ne 0\) (в точке М), траектория движения является криволинейной. Это означает, что движение является криволинейным.
Таким образом, вид движения - криволинейное неравномерное ускоренное движение (так как \(a_\tau > 0\), скорость увеличивается).
Ответ:
- Мгновенная скорость в точке М: \(v_M \approx 3,46\) м/с.
- Тангенциальное ускорение в точке М: \(a_\tau = 1,8\) м/с\(^2\).
- Нормальное ускорение в точке М: \(a_n \approx 23,94\) м/с\(^2\).
- Полное ускорение в точке М: \(a \approx 24,01\) м/с\(^2\).
- Направление вектора скорости: По касательной к траектории в точке М, под углом \(30^\circ\) к вертикали.
- Направление вектора тангенциального ускорения: По касательной к траектории в точке М, совпадает с направлением скорости.
- Направление вектора нормального ускорения: Перпендикулярно вектору скорости, к центру кривизны траектории.
- Направление вектора полного ускорения: Под углом \(\approx 85,7^\circ\) к вектору скорости, в сторону центра кривизны.
- Вид движения: криволинейное неравномерное ускоренное движение.