Решение задачи на предел: Вариант №3

Вариант № 3 Задание 1. Вычислить предел: а) \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}\) Решение: При подстановке \(x = 2\) получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Разложим числитель на множители. Для этого найдем корни уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\). По теореме Виета корни равны 1 и 2. \[\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1\] Ответ: 1. б) \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 4x^2 - 8}{2x^3 + 7x^2 + 3x - 3}\) Решение: Для нахождения предела при \(x \to \infty\) разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на \(x^3\): \[\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{4x^2}{x^3} - \frac{8}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{7x^2}{x^3} + \frac{3x}{x^3} - \frac{3}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x} - \frac{8}{x^3}}{2 + \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{3}{x^3}}\] Так как при \(x \to \infty\) дроби вида \(\frac{k}{x^n}\) стремятся к нулю, получаем: \[\frac{1 - 0 - 0}{2 + 0 + 0 - 0} = \frac{1}{2} = 0,5\] Ответ: 0,5. Задание 2. Продифференцировать функции: а) \(y = \text{tg } x^2\) Решение: Используем правило дифференцирования сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). \[y' = (\text{tg } x^2)' = \frac{1}{\cos^2 x^2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{\cos^2 x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{\cos^2 x^2}\] Ответ: \(y' = \frac{2x}{\cos^2 x^2}\). б) \(y = \sin x \cdot 3x^2\) Решение: Используем правило дифференцирования произведения \((uv)' = u'v + uv'\). Пусть \(u = \sin x\), тогда \(u' = \cos x\). Пусть \(v = 3x^2\), тогда \(v' = 6x\). \[y' = (\sin x)' \cdot 3x^2 + \sin x \cdot (3x^2)' = \cos x \cdot 3x^2 + \sin x \cdot 6x = 3x^2 \cos x + 6x \sin x\] Можно вынести \(3x\) за скобки: \[y' = 3x(x \cos x + 2 \sin x)\] Ответ: \(y' = 3x(x \cos x + 2 \sin x)\).