Решение задачи: Уравнение касательной к функции

Задание 4. Составьте уравнение касательной для функций в точке \(x_0\): Общий вид уравнения касательной: \[y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\] 1) \(f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 7x - 4\), \(x_0 = 4\) Решение: 1. Найдем значение функции в точке \(x_0\): \(f(4) = 2 \cdot 4^3 - 15 \cdot 4^2 + 7 \cdot 4 - 4 = 2 \cdot 64 - 15 \cdot 16 + 28 - 4 = 128 - 240 + 24 = -88\) 2. Найдем производную функции: \(f'(x) = (2x^3 - 15x^2 + 7x - 4)' = 6x^2 - 30x + 7\) 3. Найдем значение производной в точке \(x_0\): \(f'(4) = 6 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4 + 7 = 6 \cdot 16 - 120 + 7 = 96 - 120 + 7 = -17\) 4. Подставим значения в уравнение касательной: \(y = -88 - 17(x - 4)\) \(y = -88 - 17x + 68\) \(y = -17x - 20\) Ответ: \(y = -17x - 20\) 2) \(f(x) = \frac{3x-1}{5x+3}\), \(x_0 = -1\) Решение: 1. Найдем значение функции в точке \(x_0\): \(f(-1) = \frac{3(-1)-1}{5(-1)+3} = \frac{-3-1}{-5+3} = \frac{-4}{-2} = 2\) 2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби: \(f'(x) = \frac{(3x-1)'(5x+3) - (3x-1)(5x+3)'}{(5x+3)^2} = \frac{3(5x+3) - 5(3x-1)}{(5x+3)^2} = \frac{15x+9-15x+5}{(5x+3)^2} = \frac{14}{(5x+3)^2}\) 3. Найдем значение производной в точке \(x_0\): \(f'(-1) = \frac{14}{(5(-1)+3)^2} = \frac{14}{(-2)^2} = \frac{14}{4} = 3,5\) 4. Составим уравнение касательной: \(y = 2 + 3,5(x - (-1))\) \(y = 2 + 3,5(x + 1)\) \(y = 3,5x + 5,5\) Ответ: \(y = 3,5x + 5,5\) Задание 5. Определите, какой угол (тупой или острый) образует касательная к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) с положительным направлением оси \(Ox\): Для решения используем геометрический смысл производной: \(k = \text{tg} \alpha = f'(x_0)\). Если \(f'(x_0) > 0\), то угол острый. Если \(f'(x_0) < 0\), то угол тупой. 1) \(f(x) = -3x^2 - 5x + 7\), \(x_0 = 1\) Решение: 1. Найдем производную: \(f'(x) = -6x - 5\) 2. Вычислим значение производной в точке \(x_0\): \(f'(1) = -6 \cdot 1 - 5 = -11\) Так как \(f'(1) < 0\), то тангенс угла наклона отрицательный. Ответ: угол тупой. 2) \(f(x) = \sqrt{7x-5}\), \(x_0 = 2\) Решение: 1. Найдем производную сложной функции: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{7x-5}} \cdot (7x-5)' = \frac{7}{2\sqrt{7x-5}}\) 2. Вычислим значение производной в точке \(x_0\): \(f'(2) = \frac{7}{2\sqrt{7 \cdot 2 - 5}} = \frac{7}{2\sqrt{9}} = \frac{7}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6} \approx 1,17\) Так как \(f'(2) > 0\), то тангенс угла наклона положительный. Ответ: угол острый.