Решение предела: Вариант 4, Задание 1

Ниже представлено решение заданий из Варианта № 4 по дисциплине «Математика», оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Вычислить пределы. а) \(\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 7x + 2}{4x^2 - 5x - 6}\) Подставим \(x = 2\) в выражение: \[ \frac{3(2)^2 - 7(2) + 2}{4(2)^2 - 5(2) - 6} = \frac{12 - 14 + 2}{16 - 10 - 6} = \frac{0}{0} \] Получена неопределенность типа \(\frac{0}{0}\). Разложим числитель и знаменатель на множители. Так как \(x = 2\) является корнем обоих многочленов, они делятся на \((x - 2)\). Для числителя \(3x^2 - 7x + 2\): Корни через дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25\). \(x_1 = \frac{7 + 5}{6} = 2\); \(x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3}\). Разложение: \(3(x - 2)(x - \frac{1}{3}) = (x - 2)(3x - 1)\). Для знаменателя \(4x^2 - 5x - 6\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121\). \(x_1 = \frac{5 + 11}{8} = 2\); \(x_2 = \frac{5 - 11}{8} = -\frac{3}{4}\). Разложение: \(4(x - 2)(x + \frac{3}{4}) = (x - 2)(4x + 3)\). Вычисляем предел: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(3x - 1)}{(x - 2)(4x + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x - 1}{4x + 3} = \frac{3(2) - 1}{4(2) + 3} = \frac{5}{11} \] Ответ: \(\frac{5}{11}\). б) \(\lim_{x \to \infty} \frac{10x^3 - x^2 + 5x + 2}{2x^3 - 3x^2 + 5x}\) Имеем неопределенность типа \(\frac{\infty}{\infty}\). Для нахождения предела при \(x \to \infty\) разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на \(x^3\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10x^3}{x^3} - \frac{x^2}{x^3} + \frac{5x}{x^3} + \frac{2}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} - \frac{3x^2}{x^3} + \frac{5x}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{10 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{2 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}} \] Так как при \(x \to \infty\) дроби вида \(\frac{k}{x^n}\) стремятся к нулю, получаем: \[ \frac{10 - 0 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{10}{2} = 5 \] Ответ: 5. Задание 2. Продифференцировать функции. а) \(y = \cos \sqrt{x}\) Используем правило дифференцирования сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\): \[ y' = (\cos \sqrt{x})' = -\sin \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' \] Так как \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), получаем: \[ y' = -\sin \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \] б) \(y = \text{tg} x \cdot \text{ctg} x\) Воспользуемся тригонометрическим тождеством: \(\text{tg} x \cdot \text{ctg} x = 1\) (при условии, что функции определены). Следовательно: \[ y = 1 \] Производная константы равна нулю: \[ y' = (1)' = 0 \] Ответ: а) \(y' = -\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\); б) \(y' = 0\).