Решение задач с дробями: пошаговый разбор

Ниже представлено решение задач из карточки, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Найдите значение выражения: \[ \frac{1}{4} + \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{15} \] Решение: 1) Выполним умножение, сократив дроби: \[ \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{15} = \frac{5 \cdot 7}{14 \cdot 15} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \] 2) Сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 12: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \] Ответ: \( \frac{5}{12} \) Задание 2. Найдите значение выражения: \[ 7 - \frac{3}{4} \cdot 6\frac{8}{9} \] Решение: 1) Переведем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение: \[ \frac{3}{4} \cdot \frac{6 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{3}{4} \cdot \frac{62}{9} = \frac{1 \cdot 31}{2 \cdot 3} = \frac{31}{6} = 5\frac{1}{6} \] 2) Выполним вычитание: \[ 7 - 5\frac{1}{6} = 6\frac{6}{6} - 5\frac{1}{6} = 1\frac{5}{6} \] Ответ: \( 1\frac{5}{6} \) Задание 3. Решите уравнение: \[ 5x^2 = -23x \] Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ 5x^2 + 23x = 0 \] Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \[ x(5x + 23) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x_1 = 0 \) 2) \( 5x + 23 = 0 \Rightarrow 5x = -23 \Rightarrow x_2 = -4,6 \) Ответ: \( -4,6; 0 \) Задание 4. Решите уравнение: \[ 5x^2 = 13x \] Решение: \[ 5x^2 - 13x = 0 \] \[ x(5x - 13) = 0 \] 1) \( x_1 = 0 \) 2) \( 5x - 13 = 0 \Rightarrow 5x = 13 \Rightarrow x_2 = 2,6 \) Ответ: \( 0; 2,6 \) Задание 5. Решите уравнение: \[ 10x^2 - 9 = x \] Решение: Приведем уравнение к стандартному виду \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ 10x^2 - x - 9 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 1 + 360 = 361 = 19^2 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{1 + 19}{2 \cdot 10} = \frac{20}{20} = 1 \] \[ x_2 = \frac{1 - 19}{20} = -\frac{18}{20} = -0,9 \] Ответ: \( -0,9; 1 \) Задание 6. Решите уравнение: \[ x^2 - 12 = 4x \] Решение: \[ x^2 - 4x - 12 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -12 \] Методом подбора находим корни: \[ x_1 = 6, x_2 = -2 \] Ответ: \( -2; 6 \)