Решение задачи: Подобие треугольников ABC и MNP

Хорошо, давайте решим эти задачи. Задачи с кратким ответом 8. Треугольники ABC и MNP подобны. Запишите пропорциональность сходственных сторон. Решение: Если треугольники ABC и MNP подобны, то их сходственные стороны пропорциональны. По рисунку видно, что: Угол A = 72 градуса, Угол C = 49 градусов. Значит, Угол B = 180 - 72 - 49 = 59 градусов. Угол M = 72 градуса, Угол P = 49 градусов. Значит, Угол N = 180 - 72 - 49 = 59 градусов. Сходственные углы равны: Угол A = Угол M, Угол B = Угол N, Угол C = Угол P. Сходственные стороны лежат напротив равных углов. Сторона BC лежит напротив угла A, сторона NP лежит напротив угла M. Сторона AC лежит напротив угла B, сторона MP лежит напротив угла N. Сторона AB лежит напротив угла C, сторона MN лежит напротив угла P. Пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} = \frac{AC}{MP} \] 9. Треугольники MNP и PQR подобны. Запишите пары равных углов. Решение: По рисунку видно, что: Угол M = 90 градусов, Угол N = 30 градусов. Значит, Угол P (в треугольке MNP) = 180 - 90 - 30 = 60 градусов. Угол Q = 90 градусов, Угол R = 30 градусов. Значит, Угол P (в треугольке PQR) = 180 - 90 - 30 = 60 градусов. (Обратите внимание, что вершина P общая для обоих треугольников, но углы при этой вершине в разных треугольниках могут быть разными, если P - это просто обозначение вершины, а не конкретного угла. Однако, по рисунку и условию подобия, углы должны быть равны.) Если треугольники MNP и PQR подобны, то их соответствующие углы равны. По расположению вершин и углов на рисунке можно предположить следующее соответствие: Угол M = Угол Q = 90 градусов Угол N = Угол R = 30 градусов Угол P (в MNP) = Угол P (в PQR) = 60 градусов Пары равных углов: Угол M = Угол Q Угол N = Угол R Угол MPN = Угол QPR 10. Треугольники ABC и MNP подобны. Найдите x и y. Решение: Если треугольники ABC и MNP подобны, то их сходственные стороны пропорциональны. По рисунку: В треугольнике ABC стороны: AB = 3, BC = 6, AC = 5. В треугольнике MNP стороны: MN = x, NP = 18, MP = y. Порядок вершин в условии подобия (ABC и MNP) указывает на соответствие: AB соответствует MN BC соответствует NP AC соответствует MP Запишем пропорцию: \[ \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} = \frac{AC}{MP} \] Подставим известные значения: \[ \frac{3}{x} = \frac{6}{18} = \frac{5}{y} \] Сначала найдем x: \[ \frac{3}{x} = \frac{6}{18} \] Упростим дробь: \[ \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \] Значит: \[ \frac{3}{x} = \frac{1}{3} \] Перемножим крест-на-крест: \[ 3 \cdot 3 = x \cdot 1 \] \[ 9 = x \] \[ x = 9 \] Теперь найдем y: \[ \frac{6}{18} = \frac{5}{y} \] \[ \frac{1}{3} = \frac{5}{y} \] Перемножим крест-на-крест: \[ 1 \cdot y = 3 \cdot 5 \] \[ y = 15 \] Ответ: x = 9, y = 15. 11. Треугольники ABC и MNP подобны. Периметр треугольника ABC равен 21 см. Найдите периметр треугольника MNP. Решение: Если треугольники ABC и MNP подобны, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон. По рисунку: В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 8, AC = 7. Периметр треугольника ABC: \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 6 + 8 + 7 = 21 \) см. (Это совпадает с условием задачи). В треугольнике MNP известны стороны: MN = 12, NP = 16, MP = 14. Найдем коэффициент подобия \( k \). Сравним сходственные стороны: \[ k = \frac{MN}{AB} = \frac{12}{6} = 2 \] Проверим для других сторон: \[ k = \frac{NP}{BC} = \frac{16}{8} = 2 \] \[ k = \frac{MP}{AC} = \frac{14}{7} = 2 \] Коэффициент подобия \( k = 2 \). Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ \frac{P_{MNP}}{P_{ABC}} = k \] \[ \frac{P_{MNP}}{21} = 2 \] \[ P_{MNP} = 2 \cdot 21 \] \[ P_{MNP} = 42 \] Периметр треугольника MNP равен 42 см. Задачи с развернутым решением 12. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке O. Найдите AC, если AB=96 см, DC=24 см, AO=16 см. Решение: Дано: Трапеция ABCD, AB || CD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. AB = 96 см DC = 24 см AO = 16 см Найти: AC. 1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Поскольку AB || CD, то: Угол OAB = Угол OCD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Угол OBA = Угол ODC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD). Угол AOB = Угол COD (как вертикальные углы). Следовательно, треугольник AOB подобен треугольнику COD по трем углам (или по двум углам). 2. Запишем отношение сходственных сторон: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} \] 3. Подставим известные значения: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD} \] \[ \frac{16}{OC} = \frac{96}{24} \] 4. Упростим дробь: \[ \frac{96}{24} = 4 \] 5. Теперь у нас есть уравнение: \[ \frac{16}{OC} = 4 \] Чтобы найти OC, умножим обе части на OC и разделим на 4: \[ 16 = 4 \cdot OC \] \[ OC = \frac{16}{4} \] \[ OC = 4 \] см. 6. Диагональ AC состоит из отрезков AO и OC: \[ AC = AO + OC \] \[ AC = 16 + 4 \] \[ AC = 20 \] см. Ответ: AC = 20 см. 13. Отрезки AB и CM пересекаются в точке O так, что AC || BM. Найдите длину отрезка CM, если AC=15 см, BM=3 см, CO=10 см. Решение: Дано: Отрезки AB и CM пересекаются в точке O. AC || BM. AC = 15 см BM = 3 см CO = 10 см Найти: CM. 1. Рассмотрим треугольники AOC и BOM. Поскольку AC || BM, то: Угол CAO = Угол MBO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и BM и секущей AB). Угол ACO = Угол BMO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и BM и секущей CM). Угол AOC = Угол BOM (как вертикальные углы). Следовательно, треугольник AOC подобен треугольнику BOM по трем углам (или по двум углам). 2. Запишем отношение сходственных сторон: \[ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{MO} = \frac{AC}{BM} \] 3. Подставим известные значения: \[ \frac{CO}{MO} = \frac{AC}{BM} \] \[ \frac{10}{MO} = \frac{15}{3} \] 4. Упростим дробь: \[ \frac{15}{3} = 5 \] 5. Теперь у нас есть уравнение: \[ \frac{10}{MO} = 5 \] Чтобы найти MO, умножим обе части на MO и разделим на 5: \[ 10 = 5 \cdot MO \] \[ MO = \frac{10}{5} \] \[ MO = 2 \] см. 6. Отрезок CM состоит из отрезков CO и MO: \[ CM = CO + MO \] \[ CM = 10 + 2 \] \[ CM = 12 \] см. Ответ: CM = 12 см.