Решение задач по арифметической прогрессии: Вариант 3

Вариант 3 Задание 1 Дано: \( (a_n) \) — арифметическая прогрессия, \( a_1 = 65 \), \( d = -2 \). Найти: \( a_{32} \). Решение: Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + d(n - 1) \] Подставим значения \( n = 32 \), \( a_1 = 65 \) и \( d = -2 \): \[ a_{32} = 65 + (-2) \cdot (32 - 1) \] \[ a_{32} = 65 - 2 \cdot 31 \] \[ a_{32} = 65 - 62 = 3 \] Ответ: 3. Задание 2 Дано: арифметическая прогрессия 42; 34; 26; ... Найти: \( S_{24} \). Решение: 1) Найдем первый член и разность прогрессии: \( a_1 = 42 \) \( d = a_2 - a_1 = 34 - 42 = -8 \) 2) Воспользуемся формулой суммы первых n членов: \[ S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n \] Подставим \( n = 24 \): \[ S_{24} = \frac{2 \cdot 42 + (-8) \cdot (24 - 1)}{2} \cdot 24 \] \[ S_{24} = (84 - 8 \cdot 23) \cdot 12 \] \[ S_{24} = (84 - 184) \cdot 12 \] \[ S_{24} = -100 \cdot 12 = -1200 \] Ответ: -1200. Задание 3 Дано: \( b_n = 2n - 5 \). Найти: \( S_{81} \). Решение: Данная формула задает арифметическую прогрессию. 1) Найдем первый и восемьдесят первый члены: \[ b_1 = 2 \cdot 1 - 5 = -3 \] \[ b_{81} = 2 \cdot 81 - 5 = 162 - 5 = 157 \] 2) Воспользуемся формулой суммы: \[ S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n \] \[ S_{81} = \frac{-3 + 157}{2} \cdot 81 \] \[ S_{81} = \frac{154}{2} \cdot 81 = 77 \cdot 81 = 6237 \] Ответ: 6237. Задание 4 Дано: \( a_1 = -2,25 \), \( a_{11} = 10,25 \). Выяснить: является ли 6,5 членом этой прогрессии. Решение: 1) Найдем разность \( d \): \[ a_{11} = a_1 + 10d \] \[ 10,25 = -2,25 + 10d \] \[ 10d = 10,25 + 2,25 \] \[ 10d = 12,5 \Rightarrow d = 1,25 \] 2) Проверим, существует ли такое целое натуральное \( n \), что \( a_n = 6,5 \): \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] \[ 6,5 = -2,25 + (n - 1) \cdot 1,25 \] \[ 6,5 + 2,25 = (n - 1) \cdot 1,25 \] \[ 8,75 = (n - 1) \cdot 1,25 \] \[ n - 1 = 8,75 : 1,25 \] \[ n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8 \] Так как \( n \) — целое число, то 6,5 является 8-м членом прогрессии. Ответ: Да, является. Задание 5 Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 80. Решение: Числа, кратные 9, образуют арифметическую прогрессию, где \( a_1 = 9 \) и \( d = 9 \). Найдем количество таких чисел до 80: \[ 9n \le 80 \Rightarrow n \le 8,88... \] Значит, в прогрессии 8 членов (\( n = 8 \)). Последний член: \( a_8 = 9 \cdot 8 = 72 \). Найдем сумму: \[ S_8 = \frac{a_1 + a_8}{2} \cdot 8 \] \[ S_8 = \frac{9 + 72}{2} \cdot 8 = 81 \cdot 4 = 324 \] Ответ: 324.