Решение задач по геометрии: треугольники и теорема синусов

Ниже представлены решения задач из вашего списка, оформленные для записи в тетрадь. Задача 2. Дано: В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 45^{\circ}\) \(\angle B = 60^{\circ}\) \(BC = 4\sqrt{6}\) Найти: \(AC\) Решение: Воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] Выразим \(AC\): \[ AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \] Подставим значения: \[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12 \] Ответ: \(AC = 12\). Задача 3. Дано: В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 60^{\circ}\) \(AB = 12\sqrt{3}\) Найти: \(R\) (радиус описанной окружности) Решение: По следствию из теоремы синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \] Отсюда: \[ R = \frac{AB}{2 \sin C} \] Подставим значения: \[ R = \frac{12\sqrt{3}}{2 \cdot \sin 60^{\circ}} = \frac{12\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12 \] Ответ: \(R = 12\). Задача 4. Дано: Стороны треугольника: \(a = 5\) см, \(b = 21\) см. Угол между ними: \(\gamma = 60^{\circ}\). Найти: \(c\) (третью сторону). Решение: Воспользуемся теоремой косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma \] Подставим значения: \[ c^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \cos 60^{\circ} \] \[ c^2 = 25 + 441 - 210 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 466 - 105 = 361 \] \[ c = \sqrt{361} = 19 \] Ответ: 19 см. Задача 5. Дано: \(\angle B = 63^{\circ}\) \(\angle C = 87^{\circ}\) \(R = 11\) Найти: \(BC\) Решение: 1. Найдем угол \(A\): \[ \angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - (63^{\circ} + 87^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \] 2. По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin A} = 2R \] \[ BC = 2R \cdot \sin A \] Подставим значения: \[ BC = 2 \cdot 11 \cdot \sin 30^{\circ} = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 \] Ответ: \(BC = 11\).