Решение задачи: Исследование функции двух переменных на экстремум

Исследование функции двух переменных на экстремум: \[ z = 2x^3 - xy^2 + 5x^2 + y^2 \] 1. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - y^2 + 10x \] \[ z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -2xy + 2y \] 2. Найдем критические точки, решив систему уравнений: \[ \begin{cases} 6x^2 - y^2 + 10x = 0 \\ -2xy + 2y = 0 \end{cases} \] Из второго уравнения: \( 2y(1 - x) = 0 \), откуда \( y = 0 \) или \( x = 1 \). Если \( y = 0 \), подставим в первое уравнение: \[ 6x^2 + 10x = 0 \Rightarrow 2x(3x + 5) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -\frac{5}{3} \] Получаем точки: \( M_1(0, 0) \) и \( M_2(-\frac{5}{3}, 0) \). Если \( x = 1 \), подставим в первое уравнение: \[ 6(1)^2 - y^2 + 10(1) = 0 \Rightarrow 16 - y^2 = 0 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \] Получаем точки: \( M_3(1, 4) \) и \( M_4(1, -4) \). 3. Найдем частные производные второго порядка: \[ A = z''_{xx} = 12x + 10 \] \[ B = z''_{xy} = -2y \] \[ C = z''_{yy} = -2x + 2 \] 4. Проверим достаточные условия экстремума с помощью определителя \( \Delta = AC - B^2 \): Для \( M_1(0, 0) \): \( A = 10, B = 0, C = 2 \). \( \Delta = 10 \cdot 2 - 0^2 = 20 > 0 \). Так как \( A > 0 \), то в \( M_1 \) — минимум. \( z_{min} = z(0, 0) = 0 \). Для \( M_2(-\frac{5}{3}, 0) \): \( A = 12(-\frac{5}{3}) + 10 = -10, B = 0, C = -2(-\frac{5}{3}) + 2 = \frac{16}{3} \). \( \Delta = -10 \cdot \frac{16}{3} - 0^2 = -\frac{160}{3} < 0 \). Экстремума нет (седловая точка). Для \( M_3(1, 4) \): \( A = 22, B = -8, C = 0 \). \( \Delta = 22 \cdot 0 - (-8)^2 = -64 < 0 \). Экстремума нет. Для \( M_4(1, -4) \): \( A = 22, B = 8, C = 0 \). \( \Delta = 22 \cdot 0 - 8^2 = -64 < 0 \). Экстремума нет. Ответ: Функция имеет локальный минимум в точке \( (0, 0) \), \( z_{min} = 0 \).