Решение задачи о трапеции с перпендикулярными диагоналями

Решим задачу номер 7. Дано: Трапеция ABCD. AD = 15. На рисунке видно, что AB = BC = CD. Также на рисунке показано, что диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD (угол ACD = 90 градусов). И диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB (угол ABD = 90 градусов). Найти: CE. Решение: 1. Поскольку AB = BC = CD, трапеция ABCD является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть \(\angle DAB = \angle CDA\). Также диагонали равны: AC = BD. 2. Рассмотрим треугольник BCD. По условию BC = CD. Значит, треугольник BCD равнобедренный. Углы при основании BD равны: \(\angle CBD = \angle CDB\). 3. Рассмотрим треугольник ABC. По условию AB = BC. Значит, треугольник ABC равнобедренный. Углы при основании AC равны: \(\angle BAC = \angle BCA\). 4. Рассмотрим треугольник ACD. По условию \(\angle ACD = 90^\circ\). Это прямоугольный треугольник. 5. Рассмотрим треугольник ABD. По условию \(\angle ABD = 90^\circ\). Это прямоугольный треугольник. 6. В равнобедренной трапеции ABCD, если провести высоту из вершины B к основанию AD, пусть это будет BH, и из вершины C к основанию AD, пусть это будет CK, то AH = KD. Также, если AB = BC = CD, то это особый случай равнобедренной трапеции. 7. Из того, что \(\angle ABD = 90^\circ\) и \(\angle ACD = 90^\circ\), следует, что точки B и C лежат на окружности с диаметром AD. Центр этой окружности - середина AD. Радиус этой окружности равен \(R = \frac{AD}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\). 8. В равнобедренной трапеции ABCD, если AB = BC = CD, то можно показать, что \(\angle CAD = \angle BDA\). Также, \(\angle BAC = \angle BCA\). И \(\angle CBD = \angle CDB\). 9. Рассмотрим треугольник ACD. Он прямоугольный (\(\angle ACD = 90^\circ\)). CE - это высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AD. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит его на два подобных треугольника, которые также подобны исходному треугольнику. То есть, \(\triangle ACE \sim \triangle CDE \sim \triangle ACD\). 10. В равнобедренной трапеции с AB = BC = CD, углы трапеции можно выразить. Пусть \(\angle CAD = \alpha\). Тогда в \(\triangle ACD\), \(\angle CDA = \angle CAD + \angle ACD = \alpha + 90^\circ\). Это неверно. В \(\triangle ACD\), \(\angle CAD + \angle CDA = 90^\circ\). Значит, \(\angle CDA = 90^\circ - \angle CAD\). 11. Известно, что в равнобедренной трапеции, если боковая сторона равна меньшему основанию, то диагональ делит угол при большем основании на две части, одна из которых равна углу при меньшем основании. То есть, \(\angle CAD = \angle BCA\). Но мы знаем, что \(\angle BAC = \angle BCA\) (из \(\triangle ABC\)). Значит, \(\angle CAD = \angle BAC\). Это означает, что AC является биссектрисой угла BAD. 12. Если AC - биссектриса угла BAD, то \(\angle BAC = \angle CAD\). Пусть \(\angle BAC = \angle CAD = x\). Тогда \(\angle BAD = 2x\). В равнобедренной трапеции \(\angle CDA = \angle BAD = 2x\). 13. В прямоугольном треугольнике ACD: \(\angle CAD + \angle CDA = 90^\circ\). \(x + 2x = 90^\circ\). \(3x = 90^\circ\). \(x = 30^\circ\). 14. Теперь мы знаем углы: \(\angle CAD = 30^\circ\). \(\angle CDA = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). \(\angle BAD = 60^\circ\). 15. В прямоугольном треугольнике ACD: Гипотенуза AD = 15. \(\angle CAD = 30^\circ\). Катет CD лежит напротив угла \(30^\circ\), поэтому \(CD = \frac{1}{2} AD\). \(CD = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5\). 16. Так как AB = BC = CD, то AB = BC = CD = 7.5. 17. Теперь найдем CE. CE - высота в прямоугольном треугольнике ACD, опущенная на гипотенузу AD. Мы можем найти CE по формуле: \(CE = AC \cdot CD / AD\). Сначала найдем AC. В прямоугольном треугольнике ACD: \(AC = AD \cdot \sin(\angle CDA)\) или \(AC = AD \cdot \cos(\angle CAD)\). \(AC = 15 \cdot \sin(60^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). \(AC = 15 \cdot \cos(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, \(AC = \frac{15\sqrt{3}}{2}\). 18. Теперь найдем CE: \(CE = \frac{AC \cdot CD}{AD}\). \(CE = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2} \cdot 7.5}{15}\). \(CE = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{15}{2}}{15}\). \(CE = \frac{15\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{15}\). \(CE = \frac{15\sqrt{3}}{4}\). 19. Альтернативный способ найти CE. В прямоугольном треугольнике CDE: \(\angle CDE = \angle CDA = 60^\circ\). \(CE = CD \cdot \sin(\angle CDE)\). \(CE = 7.5 \cdot \sin(60^\circ)\). \(CE = 7.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). \(CE = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). \(CE = \frac{15\sqrt{3}}{4}\). Ответ: CE = \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\).