Решение: Исследование функции двух переменных на экстремум

Исследование функции двух переменных на экстремум: \[ z = x^2 + xy + y^2 - 2x - y \] 1. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y - 2 \] \[ z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y - 1 \] 2. Найдем критические точки, решив систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + 2y = 1 \end{cases} \] Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 2 - 2x \). Подставим во второе: \[ x + 2(2 - 2x) = 1 \] \[ x + 4 - 4x = 1 \] \[ -3x = -3 \Rightarrow x = 1 \] Тогда \( y = 2 - 2(1) = 0 \). Получена одна критическая точка \( M(1, 0) \). 3. Найдем частные производные второго порядка: \[ A = z''_{xx} = 2 \] \[ B = z''_{xy} = 1 \] \[ C = z''_{yy} = 2 \] 4. Проверим достаточное условие экстремума в точке \( M(1, 0) \): Вычислим определитель \( \Delta = AC - B^2 \): \[ \Delta = 2 \cdot 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \] Так как \( \Delta > 0 \), экстремум существует. Так как \( A = 2 > 0 \), то в точке \( M(1, 0) \) наблюдается локальный минимум. 5. Вычислим значение функции в точке минимума: \[ z_{min} = z(1, 0) = 1^2 + 1 \cdot 0 + 0^2 - 2 \cdot 1 - 0 = 1 - 2 = -1 \] Ответ: Функция имеет локальный минимум в точке \( (1, 0) \), \( z_{min} = -1 \).