Решение задачи 15.14: Нахождение корней cos(x) на промежутке

Решение задачи 15.14. Нахождение корней уравнения на заданном промежутке. а) \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( x \in [0; 2\pi] \) Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). 1) При \( k = 0 \): \( x_1 = \frac{\pi}{6} \) (входит в промежуток), \( x_2 = -\frac{\pi}{6} \) (не входит). 2) При \( k = 1 \): \( x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \) (не входит), \( x_4 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \) (входит). Ответ: \( \frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \). б) \( \cos x = -\frac{1}{2} \), \( x \in [2\pi; 4\pi] \) Общее решение: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). 1) При \( k = 1 \): \( x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \) (входит), \( x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \) (не входит). 2) При \( k = 2 \): \( x_3 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \) (не входит), \( x_4 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \) (входит). Ответ: \( \frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3} \). в) \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( x \in [-\pi; 3\pi] \) Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). 1) При \( k = 0 \): \( x_1 = \frac{\pi}{4} \) (входит), \( x_2 = -\frac{\pi}{4} \) (входит). 2) При \( k = 1 \): \( x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \) (входит), \( x_4 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \) (входит). Ответ: \( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4} \). г) \( \cos x = -1 \), \( x \in [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \) Общее решение: \( x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). 1) При \( k = -1 \): \( x_1 = \pi - 2\pi = -\pi \) (входит, так как \( -\pi > -1,5\pi \)). 2) При \( k = 0 \): \( x_2 = \pi \) (входит). 3) При \( k = 1 \): \( x_3 = 3\pi \) (не входит). Ответ: \( -\pi; \pi \).