Решение дифференциального уравнения y' = -12x^2 - 6x - 2, y(0) = 3

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение первого порядка: \[ y' = -12x^2 - 6x - 2 \] с начальным условием: \[ y(0) = 3 \] 1. Найдем общее решение уравнения, проинтегрировав правую часть по \( x \): \[ y = \int (-12x^2 - 6x - 2) dx \] 2. Используя правила интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \), получаем: \[ y = -12 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C \] \[ y = -4x^3 - 3x^2 - 2x + C \] где \( C \) — произвольная постоянная. 3. Найдем значение константы \( C \), используя начальное условие \( y(0) = 3 \). Подставим \( x = 0 \) и \( y = 3 \) в полученное уравнение: \[ 3 = -4(0)^3 - 3(0)^2 - 2(0) + C \] \[ 3 = 0 - 0 - 0 + C \] \[ C = 3 \] 4. Запишем частное решение уравнения, подставив найденное значение \( C \): \[ y = -4x^3 - 3x^2 - 2x + 3 \] Ответ: \( y = -4x^3 - 3x^2 - 2x + 3 \)