Решение Дифференциального Уравнения y' = (y - 4)(4x + 5)

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: \[ y' = (y - 4)(4x + 5) \] 1. Запишем производную \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = (y - 4)(4x + 5) \] 2. Разделим переменные (перенесем все с \( y \) в левую часть, а с \( x \) — в правую): \[ \frac{dy}{y - 4} = (4x + 5) dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y - 4} = \int (4x + 5) dx \] 4. Вычислим интегралы: Левая часть: \( \ln|y - 4| \) Правая часть: \( 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = 2x^2 + 5x + C \) Получаем: \[ \ln|y - 4| = 2x^2 + 5x + C \] 5. Выразим \( y \), потенцируя обе части уравнения: \[ |y - 4| = e^{2x^2 + 5x + C} \] \[ |y - 4| = e^C \cdot e^{2x^2 + 5x} \] Обозначим константу \( \pm e^C \) как новую константу \( C_1 \): \[ y - 4 = C_1 e^{2x^2 + 5x} \] 6. Окончательно выражаем \( y \): \[ y = C_1 e^{2x^2 + 5x} + 4 \] Также стоит отметить, что при разделении переменных мы предполагали, что \( y - 4 \neq 0 \). Проверим решение \( y = 4 \): Если \( y = 4 \), то \( y' = 0 \). Подставим в исходное уравнение: \( 0 = (4 - 4)(4x + 5) \), что верно (\( 0 = 0 \)). Значит, \( y = 4 \) является частным решением (оно получается из общего при \( C_1 = 0 \)). Ответ: \( y = C e^{2x^2 + 5x} + 4 \)