ВАРИАНТ 4
1. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 16 и 12.
Решение:
В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.
Пусть диагонали ромба равны \(d_1 = 16\) и \(d_2 = 12\).
Тогда половины диагоналей будут равны:
\(d_1/2 = 16/2 = 8\)
\(d_2/2 = 12/2 = 6\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Сторона ромба является гипотенузой этого треугольника.
По теореме Пифагора:
\(a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2\)
\(a^2 = 8^2 + 6^2\)
\(a^2 = 64 + 36\)
\(a^2 = 100\)
\(a = \sqrt{100}\)
\(a = 10\)
Ответ: Сторона ромба равна 10.
2. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 20, большее основание равно 31, а высота равна 16. Найдите меньшее основание трапеции.
Решение:
Пусть \(c\) - боковая сторона трапеции, \(c = 20\).
Пусть \(a\) - большее основание трапеции, \(a = 31\).
Пусть \(h\) - высота трапеции, \(h = 16\).
Пусть \(b\) - меньшее основание трапеции, которое нам нужно найти.
Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Эти высоты разделят трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника по краям.
Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его гипотенуза - это боковая сторона трапеции \(c\), один катет - это высота \(h\), а другой катет - это отрезок, который мы обозначим как \(x\).
По теореме Пифагора:
\(c^2 = h^2 + x^2\)
\(20^2 = 16^2 + x^2\)
\(400 = 256 + x^2\)
\(x^2 = 400 - 256\)
\(x^2 = 144\)
\(x = \sqrt{144}\)
\(x = 12\)
Большее основание \(a\) состоит из меньшего основания \(b\) и двух отрезков \(x\):
\(a = b + 2x\)
Теперь мы можем найти меньшее основание \(b\):
\(31 = b + 2 \cdot 12\)
\(31 = b + 24\)
\(b = 31 - 24\)
\(b = 7\)
Ответ: Меньшее основание трапеции равно 7.