Решение: Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Решение задачи: Судя по условию, требуется составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке \( M_0(1; 2; 0) \). Дана поверхность: \[ x^2 + y^2 - z^2 = y + z + 3 \] 1. Приведем уравнение к виду функции трех переменных \( F(x, y, z) = 0 \), перенеся все члены в левую часть: \[ F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2 - y - z - 3 = 0 \] 2. Найдем частные производные функции \( F \) в произвольной точке: \[ F'_x = (x^2 + y^2 - z^2 - y - z - 3)'_x = 2x \] \[ F'_y = (x^2 + y^2 - z^2 - y - z - 3)'_y = 2y - 1 \] \[ F'_z = (x^2 + y^2 - z^2 - y - z - 3)'_z = -2z - 1 \] 3. Вычислим значения частных производных в точке \( M_0(1; 2; 0) \): \[ F'_x(M_0) = 2 \cdot 1 = 2 \] \[ F'_y(M_0) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \] \[ F'_z(M_0) = -2 \cdot 0 - 1 = -1 \] Эти значения являются координатами вектора нормали к поверхности в данной точке: \( \vec{n} = \{2; 3; -1\} \). 4. Составим уравнение касательной плоскости по формуле: \[ F'_x(M_0)(x - x_0) + F'_y(M_0)(y - y_0) + F'_z(M_0)(z - z_0) = 0 \] Подставляем значения: \[ 2(x - 1) + 3(y - 2) - 1(z - 0) = 0 \] \[ 2x - 2 + 3y - 6 - z = 0 \] \[ 2x + 3y - z - 8 = 0 \] 5. Составим канонические уравнения нормали по формуле: \[ \frac{x - x_0}{F'_x(M_0)} = \frac{y - y_0}{F'_y(M_0)} = \frac{z - z_0}{F'_z(M_0)} \] Подставляем значения: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{-1} \] Ответ: Уравнение касательной плоскости: \( 2x + 3y - z - 8 = 0 \) Уравнение нормали: \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{-1} \)