Решение задачи №21: средняя линия треугольника

Ниже представлены решения задач №21, №22 и №23 с изображения. Оформление выполнено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача №21 Дано: \(M, N, K\) — середины сторон \(\triangle ABC\). \(m : k : n = 4 : 5 : 3\). \(P_{ABC} = 72\) см. Найти: \(MN\). Решение: Отрезки \(m, k, n\) являются средними линиями треугольника \(ABC\), так как они соединяют середины его сторон. По свойству средней линии, каждая из них равна половине соответствующей стороны треугольника: \[m = \frac{1}{2}BC, \quad k = \frac{1}{2}AC, \quad n = \frac{1}{2}AB\] Следовательно, периметр треугольника \(MNK\) (составленного из средних линий) в два раза меньше периметра треугольника \(ABC\): \[P_{MNK} = \frac{1}{2} P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 72 = 36 \text{ см}\] Пусть \(x\) — коэффициент пропорциональности. Тогда стороны треугольника \(MNK\) равны: \(m = 4x\), \(k = 5x\), \(n = 3x\). Составим уравнение по периметру: \[4x + 5x + 3x = 36\] \[12x = 36\] \[x = 3\] Найдем сторону \(MN\), которая на чертеже обозначена как \(n\): \[MN = n = 3x = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см}\] Ответ: 9 см. Задача №22 Дано: \(M, N, K\) — середины сторон \(\triangle ABC\). \(AB : BC : AC = 5 : 6 : 4\). \(P_{MNK} = 60\) см. Найти: \(AC\). Решение: Так как \(M, N, K\) — середины сторон, то треугольник \(MNK\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\). Периметр \(ABC\) в два раза больше периметра \(MNK\): \[P_{ABC} = 2 \cdot P_{MNK} = 2 \cdot 60 = 120 \text{ см}\] Пусть \(x\) — коэффициент пропорциональности для сторон \(ABC\). Тогда: \(AB = 5x\), \(BC = 6x\), \(AC = 4x\). Составим уравнение: \[5x + 6x + 4x = 120\] \[15x = 120\] \[x = 8\] Найдем сторону \(AC\): \[AC = 4x = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}\] Ответ: 32 см. Задача №23 Дано: На рисунке изображен треугольник \(ABC\), внутри которого проведен отрезок \(MK \parallel AC\). \(AK = 7\), \(KC = 9\), \(BK = 12\). Найти: \(BC\). Решение: Так как \(MK \parallel AC\), то треугольник \(BMK\) подобен треугольнику \(BAC\) по двум углам (угол \(B\) общий, соответственные углы при параллельных прямых равны). Однако, судя по чертежу и данным, точка \(K\) лежит на стороне \(BC\). Тогда длина всей стороны \(BC\) складывается из отрезков \(BK\) и \(KC\): \[BC = BK + KC\] \[BC = 12 + 9 = 21\] Ответ: 21.