Вот решение задачи по логике.
Задача:
Выбрать составное высказывание, имеющее ту же таблицу истинности, что и не:(не A и не(B и C)):
- A и B или C и A;
- (A или B) и (A или C);
- A и (B или C);
- A или (не B или не C);
Решение:
Для начала упростим исходное высказывание, используя законы де Моргана и закон двойного отрицания.
Исходное высказывание: не:(не A и не(B и C))
1. Применим закон де Моргана к внешнему отрицанию: не:(X и Y) = не X или не Y.
В нашем случае X = не A, Y = не(B и C).
Получаем: не(не A) или не(не(B и C))
2. Применим закон двойного отрицания: не(не X) = X.
Получаем: A или (B и C)
Теперь нам нужно найти среди предложенных вариантов высказывание, которое эквивалентно A или (B и C).
Рассмотрим предложенные варианты:
1. A и B или C и A
Это высказывание можно записать как \((A \land B) \lor (C \land A)\).
Оно не эквивалентно \(A \lor (B \land C)\). Например, если A=ложь, B=истина, C=истина, то \(A \lor (B \land C)\) = ложь или (истина и истина) = истина. А \((A \land B) \lor (C \land A)\) = (ложь и истина) или (истина и ложь) = ложь или ложь = ложь.
2. (A или B) и (A или C)
Это высказывание можно записать как \((A \lor B) \land (A \lor C)\).
Это дистрибутивный закон, который гласит, что \((A \lor B) \land (A \lor C)\) эквивалентно \(A \lor (B \land C)\).
Это именно то, что мы получили при упрощении исходного высказывания.
3. A и (B или C)
Это высказывание можно записать как \(A \land (B \lor C)\).
Оно не эквивалентно \(A \lor (B \land C)\). Например, если A=истина, B=ложь, C=ложь, то \(A \lor (B \land C)\) = истина или (ложь и ложь) = истина. А \(A \land (B \lor C)\) = истина и (ложь или ложь) = истина и ложь = ложь.
4. A или (не B или не C)
Это высказывание можно записать как \(A \lor (\neg B \lor \neg C)\).
Применим закон де Моргана к \(\neg B \lor \neg C\): \(\neg B \lor \neg C\) эквивалентно \(\neg (B \land C)\).
Тогда высказывание становится \(A \lor \neg (B \land C)\).
Это не эквивалентно \(A \lor (B \land C)\). Например, если A=ложь, B=истина, C=истина, то \(A \lor (B \land C)\) = истина. А \(A \lor \neg (B \land C)\) = ложь или не(истина и истина) = ложь или не(истина) = ложь или ложь = ложь.
Таким образом, высказывание, имеющее ту же таблицу истинности, что и исходное, это вариант 2.
Ответ:
2) (A или B) и (A или C)
