Решение задачи: Конус в Цилиндре

Задание 3. Дано: В цилиндр вписан конус. Основания и высоты цилиндра и конуса совпадают. \( H = R \sqrt{3} \), где \( H \) — высота, \( R \) — радиус основания. \( S_{бок.цил.} = 24\sqrt{3} \). Найти: \( S_{бок.кон.} \) Решение: 1. Запишем формулу площади боковой поверхности цилиндра: \[ S_{бок.цил.} = 2\pi R H \] Подставим в неё известное значение площади и выражение для высоты \( H = R \sqrt{3} \): \[ 24\sqrt{3} = 2\pi R \cdot R\sqrt{3} \] \[ 24\sqrt{3} = 2\pi R^2 \sqrt{3} \] Разделим обе части уравнения на \( 2\sqrt{3} \): \[ 12 = \pi R^2 \] Отсюда выразим \( \pi R^2 = 12 \). 2. Найдем образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей: \[ l = \sqrt{R^2 + H^2} \] Подставим \( H = R\sqrt{3} \): \[ l = \sqrt{R^2 + (R\sqrt{3})^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R \] 3. Запишем формулу площади боковой поверхности конуса: \[ S_{бок.кон.} = \pi R l \] Подставим найденное значение \( l = 2R \): \[ S_{бок.кон.} = \pi R \cdot 2R = 2\pi R^2 \] 4. Так как из первого пункта мы знаем, что \( \pi R^2 = 12 \), подставим это значение: \[ S_{бок.кон.} = 2 \cdot 12 = 24 \] Ответ: 24.