Решение задачи: Многочлены (Вариант 2)

Вариант 2 Уровень А 1. Какое выражение является многочленом стандартного вида? Многочлен стандартного вида не содержит подобных слагаемых, а каждый его член является одночленом стандартного вида. В варианте В слагаемые \(4aba\) и \(3ab^2\) содержат переменные, которые можно упорядочить, а в варианте Г есть подобные слагаемые \(4ab^2\) и \(-3ab^2\). Вариант Б содержит скобки. Ответ: А. \(3a^2b + 2a^2c^2 - 5abc\) 2. Запишите в виде многочлена стандартного вида \((14x^4 - 6x^3) - (5x^2 - 8x^3 + 16x^4)\) Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные: \[14x^4 - 6x^3 - 5x^2 + 8x^3 - 16x^4\] Приведем подобные слагаемые: \[(14x^4 - 16x^4) + (-6x^3 + 8x^3) - 5x^2 = -2x^4 + 2x^3 - 5x^2\] Ответ: Б. \(-2x^4 + 2x^3 - 5x^2\) 3. Выполните умножение \(-5a^2b(2ab - 3b^2)\) Используем распределительное свойство: \[-5a^2b \cdot 2ab - (-5a^2b) \cdot 3b^2 = -10a^3b^2 + 15a^2b^3\] Ответ: Б. \(-10a^3b^2 + 15a^2b^3\) 4. Упростите выражение \((2a - 6b)(3a + 5b) + 8ab\) Перемножим скобки: \[6a^2 + 10ab - 18ab - 30b^2 + 8ab\] Приведем подобные: \[6a^2 + (10ab - 18ab + 8ab) - 30b^2 = 6a^2 + 0 - 30b^2 = 6a^2 - 30b^2\] Ответ: Г. \(6a^2 - 30b^2\) 5. Запишите в виде многочлена квадрат двучлена \(3x + 5\) Используем формулу \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \[(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25\] Ответ: Г. \(9x^2 + 30x + 25\) 6. Преобразуйте в многочлен выражение \((a - 3)(a + 3)(a^2 + 9)\) Сначала применим формулу разности квадратов \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\) к первым двум скобкам: \[(a^2 - 9)(a^2 + 9)\] Снова применим ту же формулу: \[(a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81\] Ответ: А. \(a^4 - 81\) Уровень Б 7. Вычислите наиболее удобным способом: а) \(35^2 = (30 + 5)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 5 + 5^2 = 900 + 300 + 25 = 1225\) б) \(81 \cdot 79 = (80 + 1)(80 - 1) = 80^2 - 1^2 = 6400 - 1 = 6399\) 8. Упростите выражение \((9 + 3x + x^2)(x - 3) - x(x - 4)(x + 4)\) и найдите его значение, если \(x = \frac{1}{4}\) 1) Первая часть — это формула разности кубов \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\): \[(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27\] 2) Вторая часть — разность квадратов: \[x(x - 4)(x + 4) = x(x^2 - 16) = x^3 - 16x\] 3) Соединим: \[(x^3 - 27) - (x^3 - 16x) = x^3 - 27 - x^3 + 16x = 16x - 27\] 4) Подставим \(x = \frac{1}{4}\): \[16 \cdot \frac{1}{4} - 27 = 4 - 27 = -23\] Ответ: -23. Уровень В 9. Пусть \(n\) — наименьшее из четырех последовательных натуральных чисел. Тогда числа будут: \(n, n+1, n+2, n+3\). По условию: \[(n+2)(n+3) - n(n+1) = 78\] Раскроем скобки: \[n^2 + 3n + 2n + 6 - (n^2 + n) = 78\] \[n^2 + 5n + 6 - n^2 - n = 78\] \[4n + 6 = 78\] \[4n = 72\] \[n = 18\] Ответ: 18.