Решение задач на квадратные уравнения

Домашнее задание по теме «Квадратные уравнения» 1. Решить неполные квадратные уравнения: а) \(x^2 + 4x = 0\) Вынесем общий множитель за скобки: \(x(x + 4) = 0\) \(x_1 = 0\) или \(x + 4 = 0\) \(x_2 = -4\) Ответ: \(0; -4\). б) \(6x^2 - 24 = 0\) Разделим обе части на 6: \(x^2 - 4 = 0\) \(x^2 = 4\) \(x = \pm \sqrt{4}\) \(x_1 = 2, x_2 = -2\) Ответ: \(2; -2\). в) \(9x^2 + 9 = 0\) \(9x^2 = -9\) \(x^2 = -1\) Так как квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. 2. Решить полные квадратные уравнения: а) \(x^2 - 13x + 22 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 13\) \(x_1 \cdot x_2 = 22\) Подбором находим: \(x_1 = 2, x_2 = 11\). Ответ: \(2; 11\). б) \(3x^2 + x - 30 = 0\) Находим дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361 = 19^2\) \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(x_1 = \frac{-1 + 19}{6} = \frac{18}{6} = 3\) \(x_2 = \frac{-1 - 19}{6} = \frac{-20}{6} = -3\frac{1}{3}\) Ответ: \(3; -3\frac{1}{3}\). в) \(-2x^2 + x + 15 = 0\) Умножим на -1: \(2x^2 - x - 15 = 0\) \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2\) \(x_1 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3\) \(x_2 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5\) Ответ: \(3; -2,5\). 3. Задача про прямоугольник. Пусть \(x\) см — одна сторона, тогда \((x + 1,5)\) см — другая. Площадь \(S = x(x + 1,5) = 10\) \(x^2 + 1,5x - 10 = 0\) Умножим на 2: \(2x^2 + 3x - 20 = 0\) \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169 = 13^2\) \(x_1 = \frac{-3 + 13}{4} = 2,5\) \(x_2 = \frac{-3 - 13}{4} = -4\) (не подходит по смыслу задачи) Стороны: \(2,5\) см и \(2,5 + 1,5 = 4\) см. Ответ: \(2,5\) см; \(4\) см. 4. Найти сумму и произведение корней \(x^2 - 9x + 20 = 0\). По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -b = 9\) Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = c = 20\) Ответ: сумма 9, произведение 20. 5. Периметр 26 см, площадь 36 см². Пусть стороны \(a\) и \(b\). Полупериметр \(a + b = 26 : 2 = 13\) Площадь \(a \cdot b = 36\) Составим уравнение: \(x^2 - 13x + 36 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = 4, x_2 = 9\). Ответ: 4 см и 9 см. 6. Один из корней равен -2. а) \(x^2 + 5x + k = 0\) Подставим \(x = -2\): \((-2)^2 + 5(-2) + k = 0\) \(4 - 10 + k = 0 \Rightarrow k = 6\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -5 \Rightarrow -2 + x_2 = -5 \Rightarrow x_2 = -3\) Ответ: \(k = 6, x_2 = -3\). б) \(x^2 + kx - 16 = 0\) Подставим \(x = -2\): \((-2)^2 + k(-2) - 16 = 0\) \(4 - 2k - 16 = 0 \Rightarrow -2k = 12 \Rightarrow k = -6\) По теореме Виета: \(x_1 \cdot x_2 = -16 \Rightarrow -2 \cdot x_2 = -16 \Rightarrow x_2 = 8\) Ответ: \(k = -6, x_2 = 8\).