Решение тригонометрических задач: упрощение и вычисление

Самостоятельная работа 1. Спростіть вираз: а) \( \sin(90^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ \) (Використовуємо формулу зведення: функція змінюється на кофункцію, знак у II чверті для синуса додатний). б) \( \cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}) = \sin \frac{\pi}{5} \) (Використовуємо формулу зведення: функція змінюється на кофункцію, знак у IV чверті для косинуса додатний). 2. Обчислити: а) \( \sin 300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) б) \( \text{ctg } 210^\circ = \text{ctg}(180^\circ + 30^\circ) = \text{ctg } 30^\circ = \sqrt{3} \) в) \( \text{tg } \frac{9\pi}{4} = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \) г) \( \text{tg } 330^\circ = \text{tg}(360^\circ - 30^\circ) = -\text{tg } 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) д) \( \text{ctg } \frac{5\pi}{4} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg } \frac{\pi}{4} = 1 \) 3. Спростити вираз: 1) \( \sin(180^\circ - \alpha) + \cos(90^\circ - \alpha) + \text{ctg}(270^\circ - \alpha) = \) \( = \sin \alpha + \sin \alpha + \text{tg } \alpha = 2\sin \alpha + \text{tg } \alpha \) 2) \( \text{tg}(\alpha - 360^\circ) - \text{ctg}(\alpha - 270^\circ) - \sin(\alpha - 180^\circ) - \cos(\alpha + 90^\circ) = \) Спочатку винесемо мінус там, де це необхідно, враховуючи парність/непарність: \( \text{tg}(\alpha - 360^\circ) = \text{tg } \alpha \) (період тангенса \( 180^\circ \)) \( \text{ctg}(\alpha - 270^\circ) = -\text{ctg}(270^\circ - \alpha) = -\text{tg } \alpha \) \( \sin(\alpha - 180^\circ) = -\sin(180^\circ - \alpha) = -\sin \alpha \) \( \cos(\alpha + 90^\circ) = -\sin \alpha \) Підставляємо у вираз: \( \text{tg } \alpha - (-\text{tg } \alpha) - (-\sin \alpha) - (-\sin \alpha) = \) \( = \text{tg } \alpha + \text{tg } \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha = 2\text{tg } \alpha + 2\sin \alpha \)