Решение задачи: Наклонные к плоскости под углом 60°

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
1. Точка А отстоит от плоскости на расстояние 12 см. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под углом 60°.
Решение: Пусть точка А находится на расстоянии \(h = 12\) см от плоскости. Из точки А проведены наклонные, которые образуют с плоскостью угол \( \alpha = 60^\circ \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром из точки А к плоскости, наклонной и проекцией наклонной на плоскость. В этом треугольнике: Катет, противолежащий углу \( \alpha \), равен расстоянию от точки до плоскости, то есть \(h = 12\) см. Гипотенуза — это длина наклонной, которую мы ищем. Мы знаем, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin \alpha = \frac{h}{\text{длина наклонной}} \] Отсюда, длина наклонной: \[ \text{длина наклонной} = \frac{h}{\sin \alpha} \] Подставим известные значения: \[ \text{длина наклонной} = \frac{12}{\sin 60^\circ} \] Мы знаем, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). \[ \text{длина наклонной} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \[ \text{длина наклонной} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \] Длина каждой наклонной равна \(8\sqrt{3}\) см.
Ответ: Длины наклонных равны \(8\sqrt{3}\) см.
2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 14 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между концами наклонных.
Решение: Пусть точка А находится на расстоянии \(h = 14\) см от плоскости. Из точки А проведены две наклонные АВ и АС. Углы, которые наклонные образуют с плоскостью, равны \( \alpha = 45^\circ \). Угол между наклонными \( \angle BAC = 60^\circ \). Пусть В и С — концы наклонных на плоскости. Нам нужно найти расстояние ВС. 1. Найдем длины наклонных АВ и АС. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные перпендикуляром из точки А к плоскости (пусть это будет точка Н), наклонными АВ и АС, и их проекциями НВ и НС. В треугольнике АНВ: \[ \sin 45^\circ = \frac{АН}{АВ} \] \[ АВ = \frac{АН}{\sin 45^\circ} = \frac{14}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{14 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{28}{\sqrt{2}} = \frac{28\sqrt{2}}{2} = 14\sqrt{2} \] Аналогично, для наклонной АС: \[ АС = \frac{АН}{\sin 45^\circ} = 14\sqrt{2} \] Таким образом, \( АВ = АС = 14\sqrt{2} \) см. 2. Найдем расстояние между концами наклонных ВС. Рассмотрим треугольник АВС. В нем известны две стороны \( АВ = АС = 14\sqrt{2} \) и угол между ними \( \angle BAC = 60^\circ \). По теореме косинусов: \[ ВС^2 = АВ^2 + АС^2 - 2 \cdot АВ \cdot АС \cdot \cos(\angle BAC) \] Подставим значения: \[ ВС^2 = (14\sqrt{2})^2 + (14\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (14\sqrt{2}) \cdot (14\sqrt{2}) \cdot \cos 60^\circ \] \[ ВС^2 = (196 \cdot 2) + (196 \cdot 2) - 2 \cdot (196 \cdot 2) \cdot \frac{1}{2} \] \[ ВС^2 = 392 + 392 - 392 \] \[ ВС^2 = 392 \] \[ ВС = \sqrt{392} \] Разложим 392 на множители: \( 392 = 2 \cdot 196 = 2 \cdot 14^2 \). \[ ВС = \sqrt{2 \cdot 14^2} = 14\sqrt{2} \] Расстояние между концами наклонных равно \(14\sqrt{2}\) см.
Ответ: Расстояние между концами наклонных равно \(14\sqrt{2}\) см.
3. Из центра О квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 12 см. Найдите площадь треугольника АВМ.
Решение: Дан квадрат ABCD со стороной \(a = 18\) см. Центр квадрата О. Перпендикуляр ОМ к плоскости квадрата, \(ОМ = 12\) см. Нам нужно найти площадь треугольника АВМ. 1. Найдем длину диагонали квадрата. Диагональ квадрата \(d = a\sqrt{2}\). \[ d = 18\sqrt{2} \] Центр квадрата О делит диагонали пополам. Значит, расстояние от центра до вершины квадрата (например, ОА или ОВ) равно половине диагонали. \[ ОА = ОВ = \frac{d}{2} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \] 2. Найдем длину стороны АМ и ВМ треугольника АВМ. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ. Катеты ОА и ОМ. \[ АМ^2 = ОА^2 + ОМ^2 \] \[ АМ^2 = (9\sqrt{2})^2 + 12^2 \] \[ АМ^2 = (81 \cdot 2) + 144 \] \[ АМ^2 = 162 + 144 \] \[ АМ^2 = 306 \] \[ АМ = \sqrt{306} \] Разложим 306 на множители: \( 306 = 9 \cdot 34 \). \[ АМ = \sqrt{9 \cdot 34} = 3\sqrt{34} \] Аналогично, для ВМ: Рассмотрим прямоугольный треугольник ВОМ. Катеты ОВ и ОМ. \[ ВМ^2 = ОВ^2 + ОМ^2 \] Так как \( ОА = ОВ \), то \( ВМ = АМ = 3\sqrt{34} \) см. 3. Найдем площадь треугольника АВМ. Треугольник АВМ является равнобедренным, так как \( АМ = ВМ \). Основание треугольника АВМ — это сторона квадрата АВ, которая равна 18 см. Для нахождения площади треугольника нам нужна высота, опущенная из вершины М на основание АВ. Пусть К — середина стороны АВ. Тогда МК — высота треугольника АВМ. В квадрате ABCD, О — центр, К — середина АВ. Тогда ОК перпендикулярно АВ. ОК равно половине стороны квадрата: \[ ОК = \frac{АD}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] Рассмотрим прямоугольный треугольник МОК. Катеты ОМ и ОК. \[ МК^2 = ОМ^2 + ОК^2 \] \[ МК^2 = 12^2 + 9^2 \] \[ МК^2 = 144 + 81 \] \[ МК^2 = 225 \] \[ МК = \sqrt{225} = 15 \] Высота треугольника АВМ равна 15 см. Теперь найдем площадь треугольника АВМ по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \] \[ S_{АВМ} = \frac{1}{2} \cdot АВ \cdot МК \] \[ S_{АВМ} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 \] \[ S_{АВМ} = 9 \cdot 15 \] \[ S_{АВМ} = 135 \] Площадь треугольника АВМ равна 135 см².
Ответ: Площадь треугольника АВМ равна 135 см².