Решение Задания 8: Производная и Угловой Коэффициент Касательной

Задание 8. Решение: Значение производной функции в точке \(x_0\) равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент \(k\) прямой линии вычисляется через тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\), или через отношение изменения координаты \(y\) к изменению координаты \(x\) между двумя точками на этой прямой. \[f'(x_0) = k = \tan \alpha\] На графике касательной отмечены две точки, которые находятся в узлах сетки. Определим их координаты: 1. Левая точка: \(A(-4; 3)\) 2. Правая точка: \(B(0; -3)\) Найдем приращение координат при переходе от точки \(A\) к точке \(B\): Изменение по оси \(y\) (вертикальный катет): \[\Delta y = y_B - y_A = -3 - 3 = -6\] Изменение по оси \(x\) (горизонтальный катет): \[\Delta x = x_B - x_A = 0 - (-4) = 4\] Вычислим значение производной: \[f'(x_0) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-6}{4} = -1,5\] Так как касательная убывает, значение производной должно быть отрицательным, что соответствует нашему расчету. Ответ: -1,5